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Termodinâmica X

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Tópicos: Transformação Politrópica | Diagrama T-s |


1) Transformação Politrópica

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Em página anterior foi dado que uma transformação adiabática, isto é, sem troca de calor com o meio externo, é representada pela seguinte equação no plano pv: p vχ = constante, Onde χ = cp / cv (calor específico sob pressão constante dividido por calor específico sob volume constante). Essa igualdade sugere que um transformação genérica, usualmente denominada transformação politrópica, deve ter a forma:

$$p\ v^a = \text{constante} \tag{1A}$$
Onde o expoente a pode ser qualquer real, −∞ < a < +∞ (em várias referências, é comum o uso da letra n. Aqui é empregado a para evitar confusão com o n que indica número de mols). Então, as transformações anteriormente analisadas são, na realidade, casos particulares da transformação politrópica, de acordo com o expoente a.

Transformação politrópica e casos particulares
Fig 1-I

Se p va = constante, a diferencial é nula d(p va) = 0. Essa expressão pode ser expandida com a propriedade da diferencial de um produto, d(p va) = va dp + p a va−1 dv = 0. Dividindo tudo por p va,

$${dv\over v} = - {1\over a}{dp\over p} \tag{1B}$$
A Figura 1-I mostra as curvas para alguns valores do expoente a e a tabela abaixo é um resumo dos casos particulares já vistos nas páginas anteriores.

Tabela 1-I
Transformação Propriedade Valor de a Obs
Isobárica p constante 0 (1A) com a = 0
Isocórica v constante (1B) com a = ∞
Isotérmica T constante 1 (1A) com a = 1
Adiabática q = 0 χ (1A) com a = χ

Algumas fórmulas para a transformação politrópica podem ser deduzidas de forma análoga às da Transformação Adiabática, substituindo o expoente χ por a:

$${v_1 \over v_2} = \left({T_2 \over T_1}\right)^{1\over a - 1}\\{T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2}\right)^{a - 1 \over a} \tag{1C}$$
Omitindo o desenvolvimento matemático, considerando n o número de mols e m a massa do gás, trabalho (w) e calor trocado (q), por unidade de massa, são dados por:

$$w = {n\over m}{R\over a-1} (T_1 - T_2)\\q = {\chi - a\over\chi -1} w \tag{1D}$$
R é constante do gás ideal vista em página anterior, T1 e T2 são temperaturas absolutas (em K), χ e a conforme citados.

Exemplo de questão (fonte: prova PF 2004. Responder Certo ou Errado): considere que, em um sistema termodinâmico não-adiabático constituído de gás ideal, os processos sejam regidos pela relação P Vn = W, em que P é a pressão e V, o volume, enquanto n e W são, respectivamente, o coeficiente politrópico e uma constante. Nessa situação, as trocas de calor com a vizinhança do sistema são sempre acompanhadas de trabalho de fronteira, caso o coeficiente politrópico não tenda a infinito.

Solução: se o coeficiente tende a infinito, conforme Figura 1-I e Tabela 1-I, o processo é isocórico, não havendo trabalho porque não há variação de volume. Resposta: Certo.


2) Diagrama T-s

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Algumas vezes, o diagrama temperatura × entropia (T-s) se mostra mais adequado para representar a transformação do que o diagrama pressão × volume (p v). A Figura 2-I dá os aspectos aproximados das curvas de algumas transformações típicas. Entre dois pontos genéricos 1 e 2, a variação da entropia pode ser deduzida para cada transformação.

Para Transformação Isocórica (v constante), dq = cv dT. Segundo a definição de entropia, ds = dq / T. Combinando e integrando,

$$\Delta s = \int_1^2 c_v {dT\over T} = c_v \ln{T_2\over T_1} \tag{2A}$$
Diagrama T-s
Fig 2-I

Para transformação Transformação Isobárica (p constante), q = cp dT:

$$\Delta s = \int_1^2 c_p {dT\over T} = c_p \ln{T_2\over T_1} \tag{2B}$$
Portanto, as curvas de v constante e p constante são parecidas, mas com inclinações diferentes porque cv e cp são diferentes.

No caso de Transformação Isotérmica (T constante), q = w = W/m = (n/m) R T ln (p1 / p2). Desde que T é invariável,

$$\Delta s = {q\over T} = {n\over m} R \ln{p_1\over p_2} \tag{2C}$$
Na transformação isentrópica, s = constante ou:

$$\Delta s = 0 \tag{2D}$$
Demonstra-se que uma Transformação Adiabática reversível é também isentrópica.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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