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Termodinâmica IX

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Tópicos: Transformação Adiabática |


1) Transformação Adiabática

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Nesse processo, não há troca de calor com o sistema, dq = 0. Conforme primeira lei, du = dq − dw. Portanto,

$$du + dw = 0 \tag{1A}$$
Segundo (1C) de Relações Térmicas para Gases Ideais, du = cv dT. O trabalho de um gás é dw = p dv. Substituindo tudo na anterior,

$$c_v\ dT + p\ dv = 0 \tag{1B}$$
De (1F) do mesmo tópico, cp mol = cv mol + R. Se multiplicado tudo por (n/m), onde n é o número de mols e m a massa de gás, obtém-se cp e cv relativos à massa: cp = cv + (n/m) R. Mas cp/cv = χ. De outra forma, cp = χ cv. Substituindo na anterior, χ cv = cv + (n/m) R. Rearranjando,

$$c_v = {n\over m}{R\over \chi-1} \tag{1C}$$
Da Equação dos Gases Ideais, p V = n R T. Dividindo pela massa m para obter volume específico, p v = (n/m) R T. Assim, T = (m/n) (1/R) p v. Usando a propriedade da diferencial de um produto,

$$dT = {m \over n}{1 \over R} p dv + {m \over n}{1 \over R} v dp \tag{1D}$$
Substituindo dT em (1B) e também o valor de cv de (1C),

[

(n/m) R / (χ − 1)

]

[

(m/n) (1/R) p dv + (m/n) (1/R) v dp

]

+ p dv = 0
. Simplificando, p dv + v dp + χ p dv − p dv = 0. Simplificando mais e dividindo por p v,

$$\chi {dv \over v} + {dp\over p} = 0 \tag{1E}$$
A solução para essa equação diferencial é dada por:

$$p\ v^\chi = \text{constante} \tag{1E1}$$
Assim, p1 v1χ = p2 v2χ. De outra forma,

$${v_1 \over v_2} = \left({p_2 \over p_1}\right)^{1\over \chi} \tag{1F}$$
Onde χ é um número adimensional dado pela relação cp/cv, o que pode ser visto com mais detalhes no tópico Relações Térmicas para Gases Ideais (é comum, em várias referências, o uso da letra grega gama minúscula, γ, no lugar de chi, χ). A Figura 1-I dá exemplo de curva de uma transformação adiabática. Para comparação, a linha tracejada é de uma transformação isotérmica que passa pelo mesmo ponto 1.

Transformação Adiabática
Fig 1-I

Combinando a igualdade anterior com a equação dos gases ideais, pode-se chegar a:

$${v_1 \over v_2} = \left({T_2 \over T_1}\right)^{1\over \chi - 1}\\{T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2}\right)^{\chi - 1 \over \chi} \tag{1G}$$
De (1A), dw = − du. De Relações Térmicas para Gases Ideais, du = cv dT. Combinando com (1C),

$$w = c_v(T_1 - T_2) = {n \over m}{R \over \chi - 1}(T_1 - T_2) \tag{1H}$$

A relação mencionada dw = − du significa que, numa expansão adiabática, o trabalho produzido corresponde à redução da energia interna e, portanto, de temperatura. No caso contrário (compressão adiabática), o trabalho aplicado resulta em aumento da energia interna e, por consequência, de temperatura. Na prática, processos que se aproximam do adiabático são os que ocorrem rapidamente (há pouco tempo para troca de calor) ou os que acontecem em locais termicamente isolados.

Exemplo: expansão adiabática de 100 kg de ar a 20°C, de 10 atm a 1 atm.

t1 = 20°C. Portanto T1 ≈ 20 + 273 = 293 K. Pressões p1 = 10 atm = 1013250 Pa e também p2 = 1 atm = 101325 Pa. O ar é uma mistura de gases predominantemente diatômicos. Portanto, χ = 1,4. E também (χ−1)/χ ≈ 0,286. Segundo (1G),

T1T2 =

(

p1p2

)

0,286 ≈ 1,932
. Resolvendo, T22931,932 ≈ 152 K

No tópico Transformação Isobárica, visto que, para o ar, cp ≈ 1005 J/(kg°C). Assim, cv ≈ 1005 / 1,4 = 718 J/(kg°C). Usando (1H),

W = m w = m cv (T2 − T1) = 100 × 718 × (293 − 152) ≈ 10123800 J ≈ 10,1 MJ
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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