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Termodinâmica V

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Tópicos: Gás Ideal - Conceito e Equações Básicas | Gás Ideal - Equação de Estado |


1) Gás Ideal - Conceito e Equações Básicas

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A fim de facilitar o estudo da termodinâmica dos gases, consideram-se inicialmente as transformações em um gás perfeito ou gás ideal, isto é, um gás imaginário cujas moléculas não têm volume nem forças de repulsão ou atração. O seu calor específico é constante, independente da temperatura. Gases reais como o hidrogênio e o hélio apresentam comportamento próximo do gás ideal. Outros gases (ou misturas como o ar), em pressões menores que 300 MPa e temperaturas usuais, oferecem também uma razoável aproximação.

A variação do volume específico com a temperatura é dada por:

$$v = v_0(1 + \beta t) \tag{1A}$$
v volume específico na temperatura t
v0volume específico a 0°C
βcoeficiente de dilatação cúbica = (1/273,15)(1/°C)
ttemperatura em °C

Para temperatura absoluta T (em kelvin, K), considera-se a relação t = T − 273,15. Substituindo em (1A) e simplificando,

$$v = v_0\ \beta\ T \tag{1B}$$
Para dois estados (1 e 2), aplicando (1B) em cada e dividindo as equações, chega-se á formulação da Lei de Gay-Lussac

$${v_1\over v_2} = {T_1\over T_2} \tag{1C}$$
Se a temperatura do gás ideal é mantida constante, o produto da pressão (p) pelo volume específico é constante (pv = constante). Aplicando a dois pontos, p1 v1 = p2 v2. Reagrupando, tem-se a formulação da Lei de Boyle-Mariotte:

$${p_1\over p_2} = {v_2\over v_1} \tag{1D}$$

2) Gás Ideal - Equação de Estado

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Seja um gás ideal na temperatura T1, com volume específico v1 e pressão p1. Mantendo p1 constante, se é aquecido até T2 o novo volume específico v será, conforme (1C) do tópico anterior, v = v1 T2T1 Agora, mantendo T2 constante, se a pressão passa de p1 a p2, ocorre, conforme (1D) do tópico anterior, v2 = v p1p2 Combinando essas igualdades,

$${p_2\ v_2\over T_2} = {p_1\ v_1\over T_1} \tag{2A}$$
Ou seja, para um gás ideal, o produto pressão × volume dividido pela temperatura absoluta é constante. Denominando essa constante de Rg (depende do gás) e considerando um estado genérico, pode-se reescrever (2A):

$$p\ v = R_g\ T \tag{2B}$$
Igualdade similar pode ser deduzida a partir da teoria cinética de sistemas de partículas (ver página Dinâmica III-40). Neste caso, ela tem a forma:

$$p\ V = N\ k\ T \tag{2C}$$
N número de moléculas
kconstante de Boltzmann (≈ 1,3806505 10−23 J/K)

Desde que o número de moléculas em 1 mol de qualquer substância é constante e igual ao número de Avogadro NA ≈ 6,022 1023 (1/mol), pode-se reescrever a relação anterior, considerando n o número de mols:

$$p\ V = n\ N_A\ k\ T \tag{2D}$$
O produto NA k é uma constante, 6,022 × 1023 (1/mol) × 1,3806505 × 10−23 J/K ≈ 8,314472 J/(K mol). Ela é denominada constante do gás ideal ou constante universal do gás, comumente simbolizada por R. Assim, pode-se reescrever (2D) na forma usual da equação de estado do gás ideal:

$$p\ V = n\ R\ T \tag{2E}$$
p pressão (Pa)
Vvolume (m3)
nnúmero de mols
Rconstante do gás ideal ≈ 8,314472 J/(K mol)
Ttemperatura absoluta (K)

A seguir, valores de R em outras unidades.

8,314472 J / (K mol)
8,314472 l kPa / (K mol)
83,14472 l mbar / (K mol)
0,08205746 l atm / (K mol)
62,3637 l mmHg / (K mol)
1,987 cal / (K mol)
8,2057459 10−5 m3 atm / (K mol)
62,3637 l Torr / (K mol)

Exemplo: supondo uma aproximação com o gás ideal, calcular o volume específico do ar a 30 atm e 100°C, considerando a massa molar igual a 29 kg/kmol. Solução: convertendo unidades, p = 30 atm = 3039750 Pa e T = 100 + 273,15 = 373,15 K. Usando (2E) para 1 kmol de gás, 3039750 V = 1000 × 8,314472 × 373,15. Isolando o volume V e dividindo pela massa de 1 kmol conforme informado, tem-se o volume específico v = 1000 × 8,314472 × 373,15 / (3039750 × 29) ≈ 0,035 m3/kg

De (2E), pode-se concluir que, para as mesmas condições de temperatura e pressão, o volume de um mol independe do gás. A seguir, exemplos para dois gases a 0°C e 1 atm com valores retirados de tabelas. Nitrogênio: 28 kg/kmol × 0,8 m3/kg = 22,4 m3/kmol. Oxigênio: 32 kg/kmol × 0,7 m3/kg = 22,4 m3/kmol.

O metro cúbico normal nm3 é a quantidade de gás que ocupa 1 m3 em condições normais. Assim, considerando 0°C e 1 atm para as condições normais,

$$1\ \text{nm}^3 = {1\over 22,4}\ \text{kmol} \tag{2F}$$
Considerações sobre energia cinética: embora a Termodinâmica não trate dos fenômenos em nível de partículas, algumas relações elementares podem ser úteis para deduções de outras. Na página Dinâmica III-40, foi vista a igualdade (3/2) k T = (1/2) m v2rms. A expressão do lado direito é a energia cinética média das moléculas do gás ideal. Assim, o valor por mol é obtido com a multiplicação pela constante de Avogadro:

$${\bar E_c \over \text{mol}} = {3\over 2}k T N_A = {3\over 2} R\ T \tag{2G}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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