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Transmissão de Calor III

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Tópicos: Condução em Tubo | Condução em Esfera Oca | Condução em Camadas |


1) Condução em Tubo

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Considera-se a forma diferencial para a igualdade (2C) do tópico Condução:

$$\Phi = {dQ\over dt} = -k\ S {dT\over dx} \tag{1A}$$
Condução em Tubo
Fig 1-I

Seja, conforme Figura 1-I, um tubo de comprimento ℓ, raio interno r1 e raio externo r2. As temperaturas nas superfícies interna e externa são supostamente T1 e T2. Para uma camada cilíndrica fina de raio r, espessura dr e comprimento ℓ, tem-se área S = 2πrℓ e espessura dx = dr. Substituindo em (1A) e reagrupando, drr = − 2πkℓΦ dT. Integrando dr de r1 a r2 e dT de T1 a T2, chega-se ao resultado:

$$\Phi = {2\pi\ k\ \ell\over \ln{r_2\over r_1}}\ (T_1 - T_2) \tag{1B}$$
Nota-se que Φ = dQdt não faz parte da integração porque é o mesmo valor para todas as superfícies.


2) Condução em Esfera Oca

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Seja, conforme Figura 2-I, uma esfera oca de raio interno r1 e raio externo r2. As temperaturas das superfícies interna e externa são respectivamente T1 e T2. Para uma casca esférica fina de raio r e espessura dr, S = 4πr2 e também dx = dr. Substituindo em (1A) e reagrupando, drr2 = − 4 π kΦ dT. De forma similar à anterior, integrando dr de r1 a r2 e dT de T1 a T2, chega-se ao resultado:

$$\Phi = {4\pi\ k\over {1\over r_1} - {1\over r_2}}\ (T_1 - T_2) \tag{2A}$$
Condução em Esfera Oca
Fig 2-I

Exemplo: um reservatório metálico de processo tem forma esférica com diâmetro 2 metros e uma camada de isolamento térmico de 10 cm de espessura e condutividade térmica 0,1 W/(m K). Determinar a perda de calor através dessa camada, sabendo que as temperaturas das superfícies externas do metal e do isolamento são respectivamente 200°C e 50°C.

Resumindo os dados,

r1 = 1 m
r2 = 1 + 0,1 = 1,1 m
k = 0,1 W/(m K)
T1 = 200
T2 = 50


Calculando,

T1 − T2 = 150
1/r1 − 1/r2 = 1/1 − 1/1,1 ≈ 0,091


Substituindo em (2A),

Φ = 4 π 0,1 150 / 0,091 ≈ 2,1 kW


3) Condução em Camadas

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A condução de calor através de camadas de materiais de diferentes condutividades térmicas é uma situação comum na prática (paredes de construções, tubos com isolamento térmico, etc). No exemplo da Figura 3-I, uma parede plana de área S é formada por três camadas com espessuras e condutividades térmicas distintas. Usando o conceito de resistência térmica conforme tópico Condução,

$$\Delta T = T_3 - T_0 = -R_t \Phi \tag{3A}$$
Onde Rt é a resistência térmica do conjunto das três camadas. Desde que a mesma quantidade de calor por unidade de tempo Φ passa por cada camada, as relações individuais são:

$$T_3 - T_2 = -R_3 \Phi\\T_2 - T_1 = -R_2 \Phi\\T_1 - T_0 = -R_1 \Phi \tag{3B}$$
Somando essas igualdades, considerando (3A) e simplificando,

$$R_t = R_1 + R_2 + R_3 \tag{3C}$$
Ou seja, a resistência térmica total de camadas sobrepostas é igual à soma das resistências individuais, de forma análoga à resistências elétricas em série.

Condução em Camadas
Fig 3-I

A resistência térmica de cada camada é calculada segundo (2H) do tópico citado:

$$R_1 = {\Delta x_1\over k_1 S}\quad R_2 = {\Delta x_2\over k_2 S}\quad R_3 = {\Delta x_3\over k_3 S} \tag{3D}$$

Esse procedimento pode ser estendido para camadas cilíndricas e esféricas, obtendo-se o mesmo resultado de (3C). As resistências térmicas dessas camadas podem ser deduzidas a partir das fórmulas do tópico anterior:

$$R = \begin{cases}{\ln\large{r_2\over r_1}\over 2\pi\ k\ \ell}&\text{cilindro}\\[3pt]{\large{1\over r_1}-{1\over r_2}\over 4\pi\ k}&\text{esfera}\end{cases} \tag{3E}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

Topo | Rev: Ago/2018