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Transmissão de Calor I-A





1) Condução Bidimensional de Calor

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Aqui é adotado o símbolo q para o fluxo de calor (W/m2) em um elemento de espessura pequena a, de forma que os parâmetros possam ser considerados constantes nessa direção.

Para generalizar, além da troca de calor nas laterais, supõe-se que o elemento seja uma fonte volumétrica de calor (W/m3) dependente da posição s(x, y).

Dimensões do elemento (Δx e Δy) são supostamente pequenas. Assim, consideram-se as coordenadas do centro para a fonte de calor. Usando agora a conservação da energia,
$$q(x)a\Delta y + q(y)a\Delta x + s(x+\Delta x/2, y+\Delta y/2)a \Delta x \Delta y = q(x+\Delta x)a\Delta y + q(y+\Delta y)a\Delta x \tag{1A}$$
Dividindo tudo por a Δx Δy, simplificando e reagrupando,
$${q(x+\Delta x) - q(x) \over \Delta x } + {q(y+\Delta y) - q(y) \over \Delta y} - s(x+\Delta x/2, y+\Delta y/2) = 0 \tag{1B}$$
Condução de calor em duas dimensões
Fig 1-I

Para o elemento infinitesimal, essa relação se torna:
$${dq(x) \over dx} + {dq(y) \over dy} - s(x,y) = 0 \tag{1C}$$ Se considerada $\vec q(x,y)$ uma função vetorial no plano, as derivadas acima tornam-se derivadas parciais e a relação pode ser escrita com a definição do operador vetorial divergência:
$$\nabla\cdot\vec q - s(x,y) = 0 \tag{1D}$$

2) Calor Trocado e Temperatura

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A equação (2B) desta página anterior, para condução unidimensional, pode ser dada em termos de derivada, agora com q para simbolizar fluxo de calor:
$$q = - k{dT\over dx} \tag{2A}$$ Para um fluxo em duas dimensões, considerando o fluxo de calor uma grandeza vetorial conforme tópico anterior, tem-se a forma matricial:
$$\vec q = [q] = \begin{bmatrix}q_x\\q_y\end{bmatrix} = - \begin{bmatrix}k_{xx}&k_{xy}\\k_{yx}&k_{yy}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\dfrac{\partial T}{\partial x}\\\dfrac{\partial T}{\partial y}\end{bmatrix} = -[C]\nabla T \tag{2B}$$
[C] é denominada matriz de condutividade térmica do meio. O resultado é análogo a (2A), com essa matriz no lugar do coeficiente único e o gradiente da temperatura no lugar da derivada em relação à dimensão única.

Para um meio isotrópico a condutividade térmica não varia e a respectiva matriz é dada por:
$$[C] = k \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \tag{2C}$$ E a relação anterior é simplificada:
$$[q] = - k\ \nabla T \tag{2D}$$ Combinando (2B) com (1D) do tópico anterior, tem-se a formulação clássica para a condução bidimensional de calor:
$$\nabla\cdot\big([C]\nabla T\big) + s(x,y) = 0 \tag{2E}$$ Condições de contorno

Na formulação unidimensional, elas são dadas para valores em determinados pontos. No caso bidimensional, o domínio estudado é uma superfície delimitada por uma curva fechada. Assim, as condições são definidas para segmentos nessa curva.

A primeira restrição (condição essencial) é dada pelo valor da variável (T temperatura) em determinado segmento α:
$$T = T_{\text{em $\alpha$}} \tag{2F}$$ A segunda restrição (condição natural) deve estar relacionada com a derivada da variável, ou seja o fluxo de calor, que deve ser conhecido no segmento restante β (onde $\vec n$ é um vetor unitário normal a esse segmento):
$$\vec q \cdot \vec n = q_{\text{em $\beta$}} \tag{2G}$$ Meio isotrópico

Combinando (2D) com (1D) do tópico anterior e lembrando que a divergência do gradiente é o operador vetorial laplaciano (2),
$$k \nabla^2 T + s(x,y) = 0 \tag{2H}$$

3) Exemplo Numérico

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Na superfície retangular da Figura 3-I, é suposto que o lado a tem temperatura constante de 20 °C, lados b e c são termicamente isolados e o lado d tem um fluxo térmico de 10 W/m2. A fonte de calor tem o comportamento s = 2x + y (W/m3). O material é considerado isotrópico, condutividade térmica k = 2 W/(m °C). Coordenadas indicadas em metros.

A primeira condição de contorno segundo (2F) é:
$$T(0,y) = 20 \tag{3A}$$
Exemplo de condução bidimensional
Fig 3-I

Para a segunda condição, é preciso determinar os vetores unitários normais a cada lado restante:
$$\begin{align}\vec n_b &= [0\qquad 1]^T\\\vec n_c &= [1\qquad 0]^T\\\vec n_d &= [0\ \ \ -1]^T\end{align} \tag{3B}$$ O fluxo de calor para os lados b e c são nulos porque estão supostamente isolados. Assim,
$$\begin{align}q_b = q_c &= 0\\q_d &= 10\end{align} \tag{3C}$$ Usando (2D), substituindo em (2G) e expandindo os produtos escalares para esses lados,
$$\begin{align}-2\left({\partial T \over \partial x}\big\vert_{x,1} 0 + {\partial T \over \partial y}\big\vert_{x,1} 1 \right) &= 0\\-2\left({\partial T \over \partial x}\big\vert_{2,y} 1 + {\partial T \over \partial y}\big\vert_{2,y} 0 \right) &= 0\\-2\left({\partial T \over \partial x}\big\vert_{x,0} 0 + {\partial T \over \partial y}\big\vert_{x,0} (-1) \right) &= 10\end{align} \tag{3D}$$
Portanto, a condição de contorno conforme (2G) é dada por:
$${\partial T \over \partial y}\big\vert_{x,1} = 0 \quad {\partial T \over \partial x}\big\vert_{2,y} = 0 \quad {\partial T \over \partial y}\big\vert_{x,0} = 5 \tag{3E}$$
E a relação (2H) para esse caso é escrita como:
$$2\left({\partial^2 T \over \partial x^2}+{\partial^2 T \over \partial y^2}\right)+2x + y = 0 \tag{3F}$$
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Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.