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Tópicos Diversos III

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Tópicos: Temperatura, Entalpia e Pressão de Estagnação |


1) Temperatura, Entalpia e Pressão de Estagnação

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Seja a equação da energia para escoamento estacionário, vista em página anterior:

$$q - w_e = \Delta \left(h + gz + {c^2\over 2}\right) \tag{1A}$$
Nessa igualdade, despreza-se a diferença de altura Δz (aproximação válida para muitos casos práticos) e usa-se a relação do gás ideal para a entalpia, isto é,

$$\Delta h = c_p\ \Delta T \tag{1B}$$
Então, para dois pontos genéricos 1 e 2,

$$q_{12} - w_{e12} = (c_pT_2 + \tfrac{1}{2} c_2^2) - (c_pT_1 + \tfrac{1}{2} c_1^2) \tag{1C}$$

Supõe-se agora um fluxo de um gás ideal conforme Figura 1-I. Se medida a temperatura em um ponto 1, que se desloca na mesma velocidade do fluxo, o resultado será a temperatura real do gás. Se a temperatura é medida em um ponto fixo como 2 da figura, pode-se dizer que ela é a temperatura resultante da compressão adiabática do gás até velocidade zero. Ela é denominada temperatura de estagnação. Usa-se a igualdade anterior (1C), lembrando que não há trabalho e que, no processo adiabático, o calor trocado é nulo. Então a temperatura de estagnação Tt é dada por:

$$T_t = T + {c^2 \over 2 c_p} \tag{1D}$$
Temperatura, entalpia e pressão de estagnação
Fig 1-I

Também em página anterior, foi dada a fórmula para a velocidade do som:

$$c_s = \sqrt{\chi\ R\ T} \tag{1E}$$
O número de Mach M é a relação com a velocidade do som:

$$M = {c \over c_s}\quad \therefore\quad c^2 = M^2 \chi R T \tag{1F}$$
Das Relações Térmicas para Gases Ideais,

$$c_p - c_v = R\quad \text{e também}\quad {c_p \over c_v} = \chi \tag{1G}$$
Combinando essas relações com (1B), simplificando e reagrupando, obtém-se a fórmula usual para a Temperatura de Estagnação:

$${T_t \over T} = 1 + {\chi - 1 \over 2} M^2 \tag{1H}$$
Na Transformação Adiabática ocorre a relação:

$${T_1 \over T_2} = \left({p_1 \over p_2}\right)^{(\chi-1)/\chi} \tag{1I}$$
Assim, pode-se definir uma Pressão de Estagnação pt tal que:

$${T_t \over T} = \left({p_t \over p}\right)^{(\chi-1)/\chi} \tag{1J}$$
Com a fórmula anterior da temperatura chega-se a:

$${p_t \over p} = \left(1 + {\chi - 1 \over 2} M^2\right)^{\chi / (\chi-1)} \tag{1K}$$
De forma similar, pode-se definir uma Entalpia de Estagnação:

$$h_t = c_p\ T + \tfrac{1}{2}c^2 \tag{1L}$$
E a relação (1C) é escrita na forma:

$$q_{12} - w_{e12} = h_{t2} - h_{t1} \tag{1M}$$
Exemplo numérico I - Consideram-se os seguintes valores para o ar (suposto gás ideal): χ = 1,4 | cp = 1003,5 J/(kg K) | cv = 716,5 J/(kg K) | R = 287 J/(kg K) |. Se a temperatura numa região da atmosfera é 0°C ou 273,15 K e a velocidade do vento é 10 m/s, pode-se então calcular:

• Temperatura indicada por um termômetro imóvel em relação ao solo (1D): Tt = 273,15 + 102 / (2 × 1003,5) ≈ 273,2 K

• Temperatura indicada por um termômetro em um balão que acompanha o vento: T = 273,15 K (não há movimento relativo)

• Temperatura indicada por um termômetro em um avião que se move com 240 m/s em direção contrária ao vento (neste caso, as velocidades se somam): Tt = 273,15 + 2502 / (2 × 1003,5) ≈ 304,3 K

Exemplo numérico II - A Figura 1-II representa um único motor de um avião supersônico voando a 3 Mach em altitude tal que a temperatura do ar é 217 K. Supõe-se que o ar é um gás ideal com as mesmas propriedades termodinâmicas do exemplo anterior.

Conforme (1H), a temperatura do ar na entrada do motor é Tt(entrada) / 217 = 1 + (1,4 − 1) 32 / 2 = 2,8. Portanto, Tt(entrada) ≈ 608 K

Exemplo de termodinâmica - Avião supersônico
Fig 1-II

São dados também:

• vazão de massa do motor $\dot m$ = 30 kg/s
• potência de eixo dWe/dt = 16 MW
• potência calorífica trocada com o meio externo dQ/dt = 2 MW

Desprezando as diferenças de velocidades entre entrada e saída, a igualdade (1M) combinada com (1L) fica:

q12 − we12 = cp Tt(saída) − cp Tt(entrada) = cp [Tt(saída) − Tt(entrada)]

Consideram-se as relações: q = Q/m | w = W/m | $\dot m$ = dm/dt. Pode-se então escrever:

dQ/dt − dWe/dt = $\dot m$ cp [ Tt(saída) − Tt(entrada)]. Substituindo os valores,

− 2000000 + 16000000 = 30 × 1003,5 [Tt(saída) − 608]. Portanto, Tt(saída) ≈ 1073 K

Essa é a temperatura de estagnação da saída. Se for conhecido o valor da velocidade de saída dos gases em relação ao corpo do avião, a temperatura real poderá ser calculada pela igualdade (1H).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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