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Tópicos Diversos II

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Tópicos: Velocidade do Som |


1) Velocidade do Som

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Para ondas longitudinais em uma barra elástica, vale a relação:

$$c = \sqrt{E^{\phantom 1} \over \mu} \tag{1A}$$
c velocidade da onda
Emódulo de elasticidade do material da barra
μmassa específica do material da barra

Dedução dessa fórmula pode ser vista nesta página.

Para ondas sonoras no ar é possível chegar a resultado similar, mas uma analogia com essa fórmula também é possível conforme a seguir demonstrado.

O módulo de elasticidade E de um material sólido é dado por:

$$E = {\sigma \over \epsilon} \tag{1B}$$
σ tensão aplicada
εdeformação específica, ou seja, a relação entre a variação de comprimento e o comprimento, dℓ / ℓ

Para o ar (ou qualquer outro gás), a tensão σ equivale à pressão e, desde que a pressão atua em todas as direções, a deformação deve ser volumétrica, dv /v, onde v é o volume específico. Portanto, em valor absoluto, o módulo de elasticidade equivalente (que se chama K) pode ser dado por:

$$K = - {dp \over dv/v} = - v\ {dp \over dv} \tag{1C}$$
O sinal negativo ocorre porque, no gás, o aumento de pressão diminui o volume.

Substituindo na igualdade anterior da velocidade e considerando que μ = 1/v, chega-se à fórmula para a velocidade do som:

$$c = \sqrt{K^{\phantom 1} \over \mu} = \sqrt{- {1 \over \mu^2} {dp \over dv} } \tag{1D}$$
Mas a propagação de ondas em um gás é em geral considerada um processo adiabático, o que implica:

$$p\ v^\chi = C_{ad} \tag{1E}$$
Onde p é pressão, v é volume específico, χ é a relação de cp/cv (calor específico com pressão constante / calor específico com volume constante) para o gás e Cad é uma constante. Portanto,

$${dp \over dv} = {d(C_{ad}/v^\chi)\over dv} = {d(C_{ad}\ v^{-\chi})\over dv} = C_{ad} (-\chi) v^{-\chi-1} = p\ v ^\chi (-\chi) v^{-\chi-1} = -\chi {p \over v} \tag{1F}$$

Substituindo em (1D),

$$c = \sqrt{\chi\ p\ v} \tag{1G}$$
Usando a equação de estado para o gás ideal, a fórmula da velocidade do som em um gás fica simplificada:

$$c = \sqrt{\chi\ R_g\ T} \tag{1H}$$
c velocidade em m/s
χrelação cp / cv
Rgconstante do gás em J/(kg K)
Ttemperatura absoluta em K

Exemplo: a constante universal do gás ideal é R ≈ 8,315 J / (K mol). Para o ar, M ≈ 0,029 kg/mol e χ = 1,4. Portanto,

Rar8,3150,029 J / (K kg)

Para temperatura 20°C ou T = 293,15 K, a velocidade do som é:

c ≈

[

1,4 8,3150,029 293,15

]

≈ 343 m/s ≈ 1235 km/h


Para o ar, existe uma fórmula aproximada:

$$c \approx 331,4 + 0,6\ t \tag{1I}$$
Onde t é a temperatura em °C e o resultado é dado em metros por segundo.

O Número de Mach (Ma) de um objeto ou de um escoamento é a relação entre a sua velocidade e a velocidade do som. Desde que esta última é dependente da temperatura, na atmosfera por exemplo, uma mesma velocidade pode ter números de Mach diferentes, a depender do local e altitude. Segue uma classificação comum de velocidades.

SubsônicaMa < 1
SônicaMa = 1
Transônica0,8 < Ma < 1,3
Supersônica 1,2 < Ma < 5
HipersônicaMa > 5
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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