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Convecção XI

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Tópicos: Formulação Teórica da Aleta | Aleta de Seção Retangular |


1) Formulação Teórica da Aleta

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O método de cálculo visto em página anterior usa fórmulas desenvolvidas e resultados de observações práticas. Mas o calor transferido por uma aleta pode ter sua dedução teórica. Considera-se, conforme Figura 1-I, uma aleta genérica, isto é, de seção transversal qualquer e não necessariamente uniforme. Para uma porção elementar, situada entre x e x + dx, α(x) é o calor trocado por convecção com o fluido, que deve ser igual ao negativo da diferença trocada entre faces opostas dΦ(x):

$$d\Phi_\alpha (x) = - d\Phi(x) \tag{1A}$$
Segundo relação básica da condução de calor,

Φ(x) = Q(x)t = − λ Ss dTdx

Onde Ss é a área da seção transversal conforme indicado na figura. O parâmetro λ é a condutividade térmica do material da aleta.

Agora faz-se a suposição de que a temperatura ao longo de uma seção transversal é constante. Isso é válido se a aleta é fina, fato usual na maioria dos casos práticos. Nessa hipótese, a temperatura na seção transversal na posição x é igual à temperatura da parede Tw(x) na mesma posição. Considera-se também que a temperatura do fluido em convecção T é constante.

Seja a variável:

τ(x) = Tw(x) − T. Então, entre as seções em x e em x + dx, dT = dτ. E a igualdade anterior fica:

Φ(x) = − λ Ss dτ(x)dx

Considera-se a propriedade das diferenciais, d(xy) = x dy + y dx. Então,

dΦ(x)dx = −λ

(

dSsdx dx + Ss d2τdx2

)



Aleta genérica
Fig 1-I

O calor trocado por convecção α(x) é igual ao produto do coeficiente de convecção α pela área lateral dSα e pela diferença de temperatura Tw − T = τ(x):

α(x) = α dSα τ(x). Substituindo em (1A),

α τ(x) dSαdx = λ

(

dSsdx dx + Ss d2τdx2

)



Reagrupando a igualdade, obtém-se a equação diferencial para uma aleta genérica de pequena espessura:

$$\frac{d^{2}\tau}{dx^{2}}+\frac{1}{S_{s}}\frac{dS_{s}}{dx}\frac{d\tau}{dx}-\frac{\alpha}{\lambda S_{s}}\frac{dS_{\alpha}}{dx}\tau=0 \tag{1B}$$


2) Aleta de Seção Retangular

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Desde que a seção transversal é constante, Ss = a e = constante. Assim, dSsdx = 0 e a segunda parcela de (1B) é eliminada. Considerando P o perímetro, P = 2 (a + e), a variação da área lateral dSα em um intervalo dx é P dx. Assim, dSαdx = P. Portanto,

d2τdx2α Pλ Ss τ = 0

Define-se o parâmetro:

$$m^{2}=\frac{\alpha P}{\lambda S_{s}} \tag{2A}$$
Substituindo, d2τdx2 − m2 τ = 0

Aleta retangular
Fig 2-I

A solução dessa equação diferencial é:

τ = C1 cosh mx + C2 sinh mx

Para determinação das constantes, usam-se as condições extremas. Para x = 0, ocorre τ0 = C1 1 + C2 0. Portanto, C1 = τ0. Para x = L, considera-se que a transmissão de calor na extremidade é muito pequena, uma vez que que a aleta é supostamente delgada (espessura e na figura pequena e comprimento L relativamente grande). Assim, dx = 0 nesse ponto. Substituindo, 0 = dx = m τ0 sinh mL + m C2 cosh mL. Assim, C2 = − τ0 sinh mLcosh mL. Substituindo e simplificando na igualdade anterior,

$$\tau(x)=\tau_{0}\frac{\cosh\left[m(L-x)\right]}{\cosh(mL)} \tag{2B}$$
Lembrando que τ0 = Tw − T. Onde Tw é a temperatura da parede da superfície principal e T a temperatura do fluido. Derivando essa equação para x = 0,

dx = − τ0 m sinh mLcosh mL = − τ0 m tanh mL

O calor total dissipado pela aleta é igual ao calor por condução em x = 0. Ou seja,

Φ = − λ Ss dx para x = 0. Substituindo dx na relação anterior, Φ = λ Ssτ0 m tanh mL

Se a aleta não é delgada, isto é, comprimento relativamente pequeno em relação à espessura, não se pode desprezar a troca de calor na extremidade. Omitindo o desenvolvimento matemático, o resultado para o calor dissipado pela aleta é:

$$\Phi=\lambda\ S_{s}\ \tau_{0}\ m\frac{\frac{\alpha}{\lambda m}+\tanh mL}{1+\frac{\alpha}{\lambda m}\tanh mL} \tag{2C}$$
Dessa igualdade, pode-se deduzir:

Se  $$\frac{\alpha}{\lambda m}=1$$ , $\Phi = \alpha\ S_s\ \tau_0$  É como se a aleta não existisse.
Se $$\frac{\alpha}{\lambda m}<1$$ A aleta melhora a troca de calor.
Se $$\frac{\alpha}{\lambda m}>1$$ A aleta prejudica a troca. Atua como isolador.


A eficiência da aleta ηa já foi definida em tópico anterior (relação entre o calor real trocado por ela e o calor que trocaria se ela tivesse uma temperatura uniforme igual à temperatura da superfície principal). Para a aleta delgada retangular, objeto deste tópico,

ηa = λ Ssτ0 m tanh mLα P L τ0 = m tanh mLL (α P / λ Ss)

Portanto,

$$\eta_{a}=\frac{\tanh(mL)}{mL} \tag{2D}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

Topo | Rev: Ago/2018