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Ciclo de Carnot III

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Tópicos: Relações com Entropia |


1) Relações com Entropia

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No diagrama Ts (temperatura x entropia), o ciclo de Carnot forma um retângulo conforme diagrama da Figura 1-I (nesta página, mais detalhes sobre diagrama Ts). O trabalho executado W equivale à área interna. Consideram-se agora as relações de eficiência já vistas em página anterior:

$$\eta = {W \over Q_q } = 1 + {Q_f \over Q_q} = 1 - {T_f \over T_q} \tag{1A}$$
Simplificando e reagrupando as duas últimas expressões,

$${Q_q \over T_q} = {Q_f \over T_f} \tag{1B}$$
Essa soma pode ser entendida como a soma das relações entre calor trocado e temperatura em cada parte do ciclo (nas partes 23 e 41 é nula porque são adiabáticas), ou seja,

$$\sum {Q_i \over T_i} = 0 \tag{1C}$$
Se generalizada para parcelas infinitesimais do ciclo, pode-se dizer que, para um ciclo reversível, obtém-se uma igualdade que é conhecida como Teorema de Clausius:

$$\oint {\delta Q \over T} = 0 \tag{1D}$$
Ciclo de Carnot no diagrama temperatura x entropia
Fig 1-I

Para um ciclo irreversível, a eficiência é menor que a do ciclo de Carnot (no limite, isto é, se for reversível, igual). Assim, a relação (1A) anterior deve ser modificada para:

$$\eta = {W \over Q_q } = 1 + {Q_f \over Q_q} \leq 1 - {T_f \over T_q} \tag{1E}$$
Usando procedimento similar, chega-se à Inequação de Clausius:

$$\oint {\delta Q \over T} \leq 0 \tag{1F}$$
A grandeza δQ/T conforme igualdade (1D) deve ser uma propriedade do processo, uma vez que, sendo nula no caminho fechado, não depende do caminho, mas apenas dos estados do processo.

Ciclo de duas partes reversíveis
Fig 1-II

Seja o exemplo de um ciclo formado por dois processos reversíveis conforme Figura 1-II. Segundo (1D), pode-se escrever:

$$\int_1^2 \left({\delta Q \over T}\right)_A = \int_1^2 \left({\delta Q \over T}\right)_B \tag{1G}$$
A grandeza entre parênteses é uma propriedade do processo, que é denominada entropia S. Portanto, a variação de entropia em um processo reversível é:

$$dS = \left({\delta Q \over T}\right)_{rev} \tag{1H}$$
Procedendo a integração,

$$S_2 - S_1 = \int_1^2 \left({\delta Q \over T}\right)_{rev} \tag{1I}$$
Ciclo com uma parte irreversível
Fig 1-III

Considera-se agora um ciclo com uma parte irreversível conforme Figura 1-III. Então, de acordo com a relação (1F),

$$\int_1^2 \left({\delta Q \over T}\right)_{irrev} + \int_2^1 \left({\delta Q \over T}\right)_{rev} \leq 0 \tag{1J}$$
Mas a segunda parcela é o negativo da variação da entropia segundo (1I). Substituindo e reagrupando,

$$S_2 - S_1 \ge \int_1^2 {\delta Q \over T} \tag{1K}$$
E a forma diferencial deve ser:

$$dS \ge {\delta Q \over T} \tag{1L}$$
Essa relação indica, de forma genérica, a variação da entropia de um processo. Se for reversível, ocorre a igualdade (=). Se irreversível, vale a desigualdade (>). Pode-se introduzir uma parcela para eliminar a desigualdade anterior. Assim,

$$\Delta S = S_2 - S_1 = \int_1^2 {\delta Q \over T} + S_g \tag{1M}$$
Onde Sg ≥ 0 é a parcela de entropia gerada devido a irreversibilidades. Para um processo reversível, deve ocorrer Sg = 0.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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