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Ciclo de Carnot I

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Tópicos: Analogia Prática | Diagrama e Fórmulas |

Dize-se que um gás executa um ciclo termodinâmico quando ele é submetido a sucessões repetitivas de transformações termodinâmicas. Na prática, os ciclos são usados para produzir trabalho (motores, turbinas), aquecimento ou refrigeração. Não é necessário que a mesma massa de gás execute cada ciclo. A característica básica é a repetição dos estados termodinâmicos. Exemplo: num equipamento de refrigeração (circuito fechado), a mesma massa de gás retorna para o início de cada ciclo, mas em um motor de combustão interna ela é renovada a cada ciclo.


1) Analogia Prática

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Seja uma máquina térmica imaginária conforme Figura 1-I: um cilindro com paredes laterais de material perfeitamente isolante com um êmbolo também isolante perfeito. O fundo do cilindro é de material perfeitamente condutor de calor e de massa desprezível. E uma determinada massa de um gás ideal no interior. Nessas condições, o gás só pode trocar calor através do fundo do cilindro. Supõe-se ainda que há 3 discos móveis que podem ser postos em contato com o fundo do cilindro:

• um disco fonte quente com temperatura TQ
• um disco fonte fria com temperatura TF
• um disco isolante térmico perfeito

Ciclo de Carnot
Fig 1-I

Inicialmente o gás tem um volume específico v1, como em (1) da Figura 1-I. Se é usado o disco quente, ele se expande isotermicamente. Ao atingir o volume específico v2 de (2) da figura, retira-se o disco quente e coloca-se o disco isolante. Assim, a expansão continua, desta vez de forma adiabática, até atingir um volume específico v3, como em (3) da figura. Nesse ponto, coloca-se o disco frio e o gás deverá sofrer uma contração isotérmica.

Em (4) da figura o gás atinge o volume específico v4, quando se insere o disco isolante e a contração deverá continuar de forma adiabática até o volume inicial v1, reiniciando o ciclo. Há, portanto, sequências alternadas de transformações isotérmicas e adiabáticas. E o movimento do pistão produz um trabalho.

Uma máquina que opera nessas condições usa Ciclo de Carnot, que é considerado o ciclo básico da Termodinâmica por ser o mais eficiente. É também é perfeitamente reversível, isto é, se trabalho for fornecido, ele funciona como bomba de calor ou refrigerador. Entretanto, o ciclo de Carnot é uma operação ideal, não pode ser usado em máquinas práticas. Um processo real, para ser próximo do isotérmico, precisaria ser tão lento que o seu uso seria inviável.


2) Diagrama e Fórmulas

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Com a descrição do tópico anterior, pode-se traçar o ciclo de Carnot em um diagrama pv conforme Figura 2-I. Cada trecho do ciclo tem sua curva característica (isotérmica ou adiabática). Mais informações sobre essas curvas na página nesta página e posteriores. Analisam-se a seguir as relações entre calor, trabalho e outras variáveis para cada trecho do ciclo.

Entre 1 e 2 (isotérmico) o calor fornecido Qq é dado conforme relações da Transformação Isotérmica (Tq = T1 = T2, temperatura da fonte quente):

$$Q_q = W_{12} = n\ R\ T_q\ \ln{p_1\over p_2} \tag{2A}$$
Entre 2 e 3 (adiabático), Q = 0, e o trabalho é dado conforme relação da Transformação Adiabática:

$$W_{23} = c_v (T_2 - T_3) \tag{2B}$$
Entre 3 e 4 (isotérmico) o calor cedido QF é dado de forma similar à da parte 12 (Tf = T3 = T4, temperatura da fonte fria):

$$Q_f = W_{34} = n\ R\ T_f\ \ln{p_3\over p_4} \tag{2C}$$
Entre 4 e 1 (adiabático) ocorre processo similar a 23:

$$W_{41} = c_v (T_4 - T_1) \tag{2D}$$
Lembrando as igualdades de temperaturas T1 = T2 e T3 = T4, conclui-se que:

$$W_{41} = -W_{23} \tag{2E}$$
Ciclo de Carnot no diagrama pv
Fig 2-I

Do tópico Transformação Adiabática, (1G), chega-se a:

$${T_2 \over T_3} = {T_q \over T_f} = \left({p_2 \over p_3} \right)^{(\chi-1)/\chi}\\{T_4 \over T_1} = {T_f \over T_q} = \left({p_4 \over p_1} \right)^{(\chi-1)/\chi} \tag{2F}$$
Onde $\chi = {c_p \over c_v}$ (relação entra calor específico com pressão constante e com volume constante).

Conclui-se então que:

$${p_1 \over p_2} = {p_4 \over p_3} \tag{2G}$$
A relação seguinte é obtida pela divisão de (2A) por (2C), considerando também (2G):

$${Q_q \over Q_f} = -{T_q \over T_f} \tag{2H}$$
O trabalho realizado pelo ciclo é a soma de cada parte: W = W12 + W23 + W34 + W41. Considerando as igualdades (2A), (2C) e (2E), o trabalho é dado por:

$$W = Q_q + Q_f \tag{2I}$$
A soma acima é uma diferença em valores absolutos, porque Qf é calor cedido pelo ciclo e, portanto, é um número negativo.

A eficiência do ciclo é a relação entre o trabalho realizado e o calor fornecido, que pode ser dada em função das temperaturas com uso da relação (1H):

$$\eta = {W \over Q_q } = 1 + {Q_f \over Q_q} = 1 - {T_f \over T_q} \tag{2J}$$
A igualdade revela que a eficiência de um ciclo de Carnot não depende da natureza do gás. Depende apenas das temperaturas das fontes fria e quente. É a máxima eficiência que uma máquina térmica poderia ter na operação entre essas duas temperaturas.

Exemplo de questão (fonte: prova PF 2004. Responder Certo ou Errado): em qualquer ciclo termodinâmico reversível, é impossível converter todo o calor adicionado em trabalho útil, o que permitiria atingir a eficiência térmica de 100%, uma vez que, em todo ciclo, há trocas de calor em níveis diferentes de temperatura. Um ciclo reversível com duas isotérmicas unidas por outros processos termodinâmicos exemplifica a afirmativa. Resposta: certo (ver relações anteriores).
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel - Manual da Construção de Máquinas. São Paulo: Hemus, 1979.
Cengel, Y. A. Michael A. B. Thermodynamics: An Engineering Approach. New York: McGraw-Hill, 2006.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo: Hemus.
Kaviany, Massoud. Principles of Heat Transfer. USA: Wiley.
Rohsenow, W. M. Hartnett, J. R. Cho, Y. I. Handbook of Heat Transfer. McGraw-Hill, 1998.

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