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Tração & Compressão IX

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Tópicos: Coluna de Igual Resistência |


1) Coluna de Igual Resistência

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Na Figura 1-I, uma coluna sofre um esforço de compressão de uma carga externa F. Considerando o peso próprio, a seção transversal deve aumentar de cima para baixo, se se deseja manter a tensão de compressão constante, ou seja, uma resistência constante à compressão. É suposto que a coluna é feita de um material homogêneo de massa específica μ.

Considera-se o ponto de aplicação de F a origem da coordenada y. Assim, a área da seção transversal é uma função S(y), que deve ser encontrada para manter a tensão constante na coluna.

Para a seção de uma altura genérica y, o volume elementar é dado por:

$$dV(y) = S(y) dy \tag{1A}$$

Fig 1-I

A força atuante na seção genérica é a soma do peso próprio acima dela com F e, dividida pela área, deve ser igual à tensão (constante) na coluna:

$${\mu g V(y) + F \over S(y)} = \sigma = \text{const}\\\therefore \mu g V(y) + F = \sigma S(y) \tag{1B}$$
Diferenciando ambos os lados,

$$\mu g dV(y) = \sigma dS(y) \tag{1C}$$
Considerando (1A),

$$\mu g S(y) dy = \sigma dS(y)\\S(y) = {\sigma \over \mu g}{dS(y) \over dy} \tag{1D}$$
A solução genérica para essa equação diferencial é:

$$S(y) = k\ \rm e^{\cfrac{\mu g}{\sigma}\ y} \tag{1E}$$
A constante k pode ser determinada pela condição:

$$y = 0 \implies S = S(0)\\\therefore k = S(0) \tag{1F}$$
Mas em y = 0 só há a ação de F. Assim,

$$\sigma = {F \over S(0)}\\\therefore k = {F \over \sigma} \tag{1G}$$
Substituindo em (1E) e considerando a tensão admissível do material,

$$S(y) = {F \over \sigma_{adm}}\ \rm e^{\left(\cfrac{\mu g}{\sigma_{adm}}\right)\ y} \tag{1H}$$
Essa fórmula fornece a área da seção e a variação das dimensões depende da geometria escolhida. Se for retangular com um lado fixo por exemplo, o outro varia com a função dividida pelo valor do lado fixo. Mas se for circular, o raio varia com a raiz quadrada da função dividida por π.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008