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Tração & Compressão VIII

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Tópicos: Dilatação Linear com Dois Materiais |


1) Dilatação Linear com Dois Materiais

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Problema de dilatação já foi visto em página anterior desta série. Neste caso, há duas barras de materiais diferentes, que sofrem a mesma variação de temperatura Δt e são impedidas de dilatar conforme (a) da Figura 1-I. As seções transversais, consideradas circulares, também são diferentes. Além das dimensões geométricas (L e D) indicadas na figura, supõe-se que são conhecidos os módulos de elasticidade (E1 e E2) e os coeficientes de dilatação linear (α1 e α2) de cada material.

A condição de equilíbrio estático permite concluir que as reações dos apoios são idênticas: RA = RB = R. Portanto, ambas as partes estão sob o mesmo esforço de compressão R.

Considera-se agora a situação (b) da figura, isto é, o aquecimento livre. Nessa condição e segundo fórmula já vista (ΔL = L α Δt), os comprimentos das partes seriam:

$$L_{1'} = L_1 + L_1 \alpha_1 \Delta t\\L_{2'} = L_2 + L_2 \alpha_2 \Delta t \tag{1A}$$
As variações são os segundos termos das igualdades:

$$\Delta L_{1dilat} = L_1 \alpha_1 \Delta t\\\Delta L_{2dilat} = L_2 \alpha_2 \Delta t \tag{1B}$$
Com a aplicação das reações dos apoios RA e RB, as barras sofrem uma deformação por compressão elástica, de forma que a soma dos comprimentos finais L1F + L2F é igual à soma dos comprimentos iniciais L1 + L2. Deve-se notar que os comprimentos finais L1F e L2F não são necessariamente iguais aos seus comprimentos iniciais L1 e L2, como pode sugerir a figura. A igualdade está na soma de ambos.

As áreas das seções transversais de cada parte são:

$$S_1 = {\pi D_1^2 \big/ 4}\\S_2 = {\pi D_2^2 \big/ 4} \tag{1C}$$

Fig 1-I

E as tensões em cada parte são:

$$\sigma_1 = R/S_1 = {4R \over \pi D_1^2}\\\sigma_2 = R/S_2 = {4R \over \pi D_2^2} \tag{1D}$$
Conforme lei de Hooke, σ = E ε = E ΔL / L. De outra forma, ΔL = σ L / E. Assim,

$$\Delta L_{1compr} = {\sigma_1 L_1 \over E_1}\\\Delta L_{2compr} = {\sigma_2 L_2 \over E_2} \tag{1E}$$
Para impedir a dilatação livre, a soma das reduções de comprimento devido à compressão deve ser igual à soma dos aumentos devido à dilatação: ΔL1compr + ΔL2compr = ΔL1dilat + ΔL2dilat. Substituindo com as igualdades de (1E) e as tensões de (1D) e simplificando, obtém-se o resultado para a reação nos apoios R:

$$R = {\Delta L_{1dilat} + \Delta L_{2dilat} \over \frac{4L_1}{\pi D_1^2 E_1}+\frac{4L_2}{\pi D_2^2 E_2}} \tag{1F}$$
Com essa igualdade e (1B) a reação R fica determinada em função de parâmetros supostamente conhecidos e outros dados podem ser calculados. Considera-se agora um exemplo numérico para Δt = 80°C, com alumínio na parte 1 e bronze na parte 2. E também os dados:

L1 = 0,45 m | D1 = 0,050 m | E1 = 69 GPa | α1 = 2,3 10−5 /°C

L2 = 0,50 m | D2 = 0,045 m | E2 = 98 GPa | α2 = 1,9 10−5 /°C

Conforme (1B),

ΔL1dilat = 0,45 m 2,3 10−5 /°C 80 °C = 0,828 mm = 0,828 10−3 m

ΔL2dilat = 0,50 m 1,9 10−5 /°C 80 °C = 0,760 mm = 0,760 10−3 m

Conforme (1F),

R = [8,28 10−4 m + 7,6 10−4 m] / [ 4 0,45 m / (π 0,052 m2 69 109 N/m2 + 4 0,50 m / (π 0,0452 m2 98 109 N/m2 ]

R ≈ 15,88 10−4 m / [ 3,32 10−9 (m/N) + 3,21 10−9 (m/N) ] ≈ 243,206 kN

Calculam-se agora as tensões de compressão conforme (1D):

σ1 = 4 243,206 103 / (π 0,0502 m2) ≈ 123,864 MPa

α2 = 4 243,206 103 / (π 0,0452 m2) ≈ 152,918 MPa

E as variações devido à compressão conforme (1E):

ΔL1compr = 123,864 MPa 0,45 m / 69 GPa ≈ 0,808 10−3 m = 0,808 mm

ΔL2compr = 152,918 MPa 0,50 m / 98 GPa ≈ 0,780 10−3 m = 0,780 mm

Desde que a dilatação aumenta o comprimento e a compressão diminui, a variação líquida é igual à diferença das duas. Assim,

ΔL1 = ΔL1dilat − ΔL1compr = 0,828 − 0,808 = +0,02 mm

ΔL2 = ΔL2dilat − ΔL2compr = 0,760 − 0,780 = −0,02 mm

Os resultados positivo e negativo indicam que o alumínio é expandido e o bronze, comprimido. À primeira vista, isso pode parecer estranho. É mais visível supor ambas as partes comprimidas. Mas os diâmetros e comprimentos são diferentes, os materiais têm módulos de elasticidade e coeficientes de dilatação distintos. A combinação desses valores pode fazer resultados desse tipo.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008