Tração & Compressão 07

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Tração & Compressão VII

1) Deformação Plástica Residual

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No esquema da Figura 1-I, a barra é considerada de seção transversal S constante. São conhecidos também os valores de:

L	comprimento inicial
E	módulo de elasticidade do material
σ_E	tensão de escoamento do material
ΔL_max	aumento do comprimento devido à aplicação do esforço de tração

Com esses dados, deseja-se saber o aumento permanente ΔL_perm, que ocorre depois de retirada a força tracionante F.

Fig 1-I

Supõe-se que o material se comporta conforme o gráfico na parte direita da referida figura. Do início da deformação (0) até o escoamento (1), há uma relação linear entre tensão σ e deformação ε. Iniciado o escoamento, a tensão permanece constante até a deformação máxima em (2). Na remoção do esforço (2) a (3), a relação tensão e deformação volta a ser linear e, desde que o módulo de elasticidade não varia, o retorno se dá em uma reta paralela a 01, deslocada devido à deformação residual da região plástica 12. É uma aproximação dos ensaios reais de tração.

A deformação máxima (em 2) é dada por ε₂ = ^ΔL_max_L. A deformação máxima na região elástica (em 1) é dada por: ε₁ = ^σ_E_E (lei de Hooke). A geometria do gráfico permite concluir que a deformação em (3) é igual à diferença entre as deformações em (2) e em (1). Assim, ε₃ = ε₂ − ε₁ = ^ΔL_max_L − ^σ_E_E. Mas ε₃ = ^ΔL_perm_L ou ΔL_perm= ε₃ L. Portanto,

$$\Delta L_{perm} = \left({\Delta L_{max}\over L} - {\sigma_E \over E}\right) L \tag{1A}$$

2) Ação da Força Centrífuga em Barra Girante

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Conforme Figura 2-II, uma barra horizontal de seção transversal constante gira, em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade, com velocidade angular constante. Deseja-se saber a atuação da força centrífuga ao longo do comprimento da barra bem como sua deformação. São conhecidos:

L	comprimento da barra
S	área da seção transversal
ω	velocidade angular
μ	massa específica do material da barra
E	módulo de elasticidade do material da barra

Das relações da Dinâmica, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular ω e raio r, a força centrífuga é dada por:

$$F = m\ \omega^2\ R \tag{2A}$$
Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questão, ela é distribuída. Mas pode ser tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto médio) da parte considerada. Seja um ponto P genérico situado a um raio r do centro. A força centrífuga atuante nesse ponto é equivalente à da massa do trecho PA concentrada no seu ponto médio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O. Mas PA = L − r. Portanto, o raio de giro dessa massa concentrada é r + (L − r)/2. Simplificando, (L + r)/2. A massa dessa parte é μ PA S = μ (L − r) S. Substituindo para a força centrífuga (2A),

F = μ (L − r) S ω² (L + r) / 2. Simplificando,

$$F(r) = \mu\ S\ \omega^2{L^2 - r^2 \over 2} \tag{2B}$$

Fig 2-I

A notação F(r) indica a dependência com o raio r. Na extremidade A (r = L) a força é nula, atingindo o valor máximo em O (r = 0). Portanto a tensão máxima é dada por:

$$\sigma_{max} = {F(0) \over S} = {\mu \omega^2 L^2 \over 2} \tag{2C}$$
A determinação da deformação não se faz pela simples divisão da tensão pelo módulo de elasticidade. Desde que a força varia ao longo do comprimento (2B), a tensão também varia, o que torna inválida a divisão mencionada. Considera-se um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto é, dL está em P da figura). Dividindo a igualdade (2B) pela área S, obtém-se a tensão atuante nesse ponto:

σ(r) = ¹₂ μ ω² (L² − r²)

Considerando dℓ a variação do comprimento dr provocada pela tensão σ, tem-se conforme a lei de Hooke:

^dℓ_dr = ^σ_E = ^{μ ω² (L² − r²)}_{2 E}. Reagrupando,

dℓ = ^{μ ω² (L² − r²)}_{2 E} dr. A variação total do comprimento é dada pela integração:

$$\ell = \int_0^L d\ell =\int_0^L {\mu \omega^2 \over 2E} (L^2 - r^2) dr = {\mu \omega^2 \over 2E}\left(L^2 r - {r^3 \over 3}\right)_0^L \tag{2D}$$
Resolvendo e simplificando,

$$\ell = {\mu \omega^2 L^2 \over 2}\ {2 L \over 3 E} \tag{2E}$$
O primeiro termo é a tensão máxima conforme (2C). Portanto,

$$\ell = {2 \sigma_{max} L \over 3 E} \tag{2F}$$
Esse resultado é a variação total de comprimento. Portanto, a divisão por L dá a deformação total da barra:

$$\epsilon = {\ell \over L} = {2 \sigma_{max} \over 3 E} \tag{2G}$$

Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994. Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002 Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962. Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979. Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008