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Tração & Compressão VII

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Tópicos: Deformação Plástica Residual | Ação da Força Centrífuga em Barra Girante |


1) Deformação Plástica Residual

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No esquema da Figura 1-I, a barra é considerada de seção transversal S constante. São conhecidos também os valores de:

L comprimento inicial
Emódulo de elasticidade do material
σEtensão de escoamento do material
ΔLmaxaumento do comprimento devido à aplicação do esforço de tração

Com esses dados, deseja-se saber o aumento permanente ΔLperm, que ocorre depois de retirada a força tracionante F.


Fig 1-I

Supõe-se que o material se comporta conforme o gráfico na parte direita da referida figura. Do início da deformação (0) até o escoamento (1), há uma relação linear entre tensão σ e deformação ε. Iniciado o escoamento, a tensão permanece constante até a deformação máxima em (2). Na remoção do esforço (2) a (3), a relação tensão e deformação volta a ser linear e, desde que o módulo de elasticidade não varia, o retorno se dá em uma reta paralela a 01, deslocada devido à deformação residual da região plástica 12. É uma aproximação dos ensaios reais de tração.

A deformação máxima (em 2) é dada por ε2 = ΔLmaxL. A deformação máxima na região elástica (em 1) é dada por: ε1 = σEE (lei de Hooke). A geometria do gráfico permite concluir que a deformação em (3) é igual à diferença entre as deformações em (2) e em (1). Assim, ε3 = ε2 − ε1 = ΔLmaxLσEE. Mas ε3 = ΔLpermL ou ΔLperm = ε3 L. Portanto,

$$\Delta L_{perm} = \left({\Delta L_{max}\over L} - {\sigma_E \over E}\right) L \tag{1A}$$

2) Ação da Força Centrífuga em Barra Girante

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Conforme Figura 2-II, uma barra horizontal de seção transversal constante gira, em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade, com velocidade angular constante. Deseja-se saber a atuação da força centrífuga ao longo do comprimento da barra bem como sua deformação. São conhecidos:

Lcomprimento da barra
Sárea da seção transversal
ωvelocidade angular
μmassa específica do material da barra
Emódulo de elasticidade do material da barra

Das relações da Dinâmica, pode ser visto que, para uma massa puntiforme m que gira com velocidade angular ω e raio r, a força centrífuga é dada por:

$$F = m\ \omega^2\ R \tag{2A}$$
Essa igualdade vale para uma massa concentrada em um ponto. No caso da barra em questão, ela é distribuída. Mas pode ser tratada como uma massa puntiforme localizada no ponto de simetria (ponto médio) da parte considerada. Seja um ponto P genérico situado a um raio r do centro. A força centrífuga atuante nesse ponto é equivalente à da massa do trecho PA concentrada no seu ponto médio, ou seja, distante r + PA/2 do centro O. Mas PA = L − r. Portanto, o raio de giro dessa massa concentrada é r + (L − r)/2. Simplificando, (L + r)/2. A massa dessa parte é μ PA S = μ (L − r) S. Substituindo para a força centrífuga (2A),

F = μ (L − r) S ω2 (L + r) / 2. Simplificando,

$$F(r) = \mu\ S\ \omega^2{L^2 - r^2 \over 2} \tag{2B}$$

Fig 2-I

A notação F(r) indica a dependência com o raio r. Na extremidade A (r = L) a força é nula, atingindo o valor máximo em O (r = 0). Portanto a tensão máxima é dada por:

$$\sigma_{max} = {F(0) \over S} = {\mu \omega^2 L^2 \over 2} \tag{2C}$$
A determinação da deformação não se faz pela simples divisão da tensão pelo módulo de elasticidade. Desde que a força varia ao longo do comprimento (2B), a tensão também varia, o que torna inválida a divisão mencionada. Considera-se um comprimento infinitesimal dr distante r do centro O (isto é, dL está em P da figura). Dividindo a igualdade (2B) pela área S, obtém-se a tensão atuante nesse ponto:

σ(r) = 12 μ ω2 (L2 − r2)

Considerando dℓ a variação do comprimento dr provocada pela tensão σ, tem-se conforme a lei de Hooke:

dℓdr = σE = μ ω2 (L2 − r2)2 E. Reagrupando,

dℓ = μ ω2 (L2 − r2)2 E dr. A variação total do comprimento é dada pela integração:

$$\ell = \int_0^L d\ell =\int_0^L {\mu \omega^2 \over 2E} (L^2 - r^2) dr = {\mu \omega^2 \over 2E}\left(L^2 r - {r^3 \over 3}\right)_0^L \tag{2D}$$
Resolvendo e simplificando,

$$\ell = {\mu \omega^2 L^2 \over 2}\ {2 L \over 3 E} \tag{2E}$$
O primeiro termo é a tensão máxima conforme (2C). Portanto,

$$\ell = {2 \sigma_{max} L \over 3 E} \tag{2F}$$
Esse resultado é a variação total de comprimento. Portanto, a divisão por L dá a deformação total da barra:

$$\epsilon = {\ell \over L} = {2 \sigma_{max} \over 3 E} \tag{2G}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008