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Tração & Compressão III

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Tópicos: Energia da Deformação Elástica | Tensão Devido à Dilatação Linear |


1) Energia da Deformação Elástica

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Com a suposição de deformação elástica de acordo com a lei de Hooke, deseja-se saber a energia gasta para deformar a barra da condição de repouso A (sem força aplicada) até B, onde uma força F mantém a barra no comprimento L + ΔL, conforme Figura 1-I. Deve-se notar que essa energia não é o simples produto F ΔL, uma vez que a força varia com o valor da deformação.

Seja x uma deformação genérica entre A e B, isto é, 0 ≤ x ≤ ΔL. De acordo com a lei de Hooke,

$$\sigma = {F(x) \over S} = E\ \epsilon = E {x \over L} \tag{1A}$$
Onde F(x) é a força que produz uma deformação absoluta x. E, nas condições extremas, tem-se:

\begin{align}&F(0) = 0\tag{1B}\\&F(\Delta L) = F\tag{1C}\end{align}

Fig 1-I

De acordo com o conceito de trabalho, dW = F(x) dx. Conforme relação (1A), F(x) = (E S/L) x. Substituindo e realizando a integração,

$$W = \int_0^{\Delta L} F(x) dx = {E\ S \over L}{(\Delta L)^2 \over 2} \tag{1D}$$
Considerando (1C) e (1A), ΔL = F L / (S E). Substituindo e simplificando, chega-se ao resultado final:

$$W = {L\ F^2 \over 2\ E\ S} \tag{1E}$$

2) Tensão Devido à Dilatação Linear

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Se, conforme Figura 2-I (a), uma barra de comprimento L a uma determinada temperatura t for submetida a uma variação (positiva neste caso) de temperatura Δt, a variação do seu comprimento é dada por:

$$\Delta L = L\ \alpha\ \Delta t \tag{2A}$$
Onde α é o coeficiente de dilatação linear do material da barra. A análise dimensional da fórmula acima permite concluir que a unidade de α no Sistema Internacional é 1/K ou 1/°C, uma vez que variações unitárias de graus Kelvin e Celsius são idênticas.

Se a barra for impedida de dilatar, conforme Figura 2-I (b), ela será submetida a uma força e, por consequência, tensão de compressão.


Fig 2-I

Considerando o trabalho na região elástica conforme lei de Hooke, pode-se usar a sua formulação para determinar a tensão (neste caso, o esforço é de compressão e não de tração): σ = E ε = E ΔL / L. Substituindo ΔL pelo valor de (2A), o resultado é:

$$\sigma = E\ \alpha\ \Delta t \tag{2B}$$
A tabela abaixo dá valores aproximados do coeficiente de dilatação linear para alguns metais ou ligas comuns.

- Aços Alumínio Bronze Cobre Ferro fundido Latão
α (10−5 °C−1) 1,2 2,3 1,9 1,7 1,2 1,9

Exemplo de questão (prova perito Polícia Federal, ano desconhecido): uma haste tem eixo reto e seção transversal constante, circular, com diâmetro d = 5,0 mm. O material da haste tem módulo de elasticidade E = 2100,00 tf/cm2 e segue a lei de Hooke. Se a deformação axial do material for ε = 0,001 qual a força normal atuante na haste? (a) 0,412 tf (b) 0,041 tf (c) 4,123 tf (d) 41,230 tf

Solução: aplicando a fórmula σ = E ε, tem-se σ = 2100 0,001 = 2,1 tf/cm2. Para diâmetro D = 5,0 mm = 0,5 cm, a área é S = π 0,52 / 4 ≈ 0,196. Portanto, F = σ S = 2,1 0,196 ≈ 0,412 tf. Resposta (a).
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008