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Torção IV

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Tópicos: Comentários sobre Dimensionamentos | Exemplo - Barra Biengastada sob Torção |


1) Comentários sobre Dimensionamentos

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Conforme visto em página anterior, a tensão máxima τmax em um eixo submetido a um torque T é dada por:

$$\tau_{max} = {T \over W_p} \tag{1A}$$
Onde Wp é o momento de resistência polar, isto é,

$$W_p = {J_p \over R} \tag{1B}$$
Onde Jp é o momento de inércia polar e R é o raio. E o ângulo de torção de um eixo de comprimento L submetido a um torque T é ϕ = T L / (Jp G). Dividindo o valor por L, resulta no ângulo de torção por unidade de comprimento:

$${\phi \over L} = {T \over J_p G} \tag{1C}$$
É comum o uso de ambos os critérios, τmax e ϕ/L, para dimensionamento de eixos. Para tensão máxima, τmax, que é uma tensão de cisalhamento, alguns critérios básicos podem ser vistos nas páginas Tração & Compressão V e Cisalhamento II.

Para o ângulo de torção por unidade de comprimento, ϕ/L, encontram-se exemplos em literatura do valor máximo de 0,25 graus por metro de comprimento, no caso de eixos de aço (deve-se notar que as fórmulas dadas usam ângulos em radianos e, portanto, esse limite corresponde a aproximadamente 0,004363 radianos por metro de comprimento).


2) Exemplo - Barra Biengastada sob Torção

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Na Figura 2-I, uma barra cilíndrica engastada em ambas as extremidades está sob ação de um torque T no local da variação de diâmetro. Deseja-se saber o ângulo de torção em B e a distribuição de torque ao longo da barra.

Para obedecer à condição de equilíbrio estático, um lado da barra deve estar sob ação de um torque T−T' e o outro lado, de T'. Assim, a soma de ambos se iguala ao torque externo T. O diagrama de torque da figura não corresponde necessariamente ao real, pois os valores e sinais serão dados pelos cálculos.

O ponto de partida para resolver este problema é considerar a barra secionada em B, ou seja, como se fossem duas barras que, sob ação de T, apresentam o mesmo ângulo de torção. Assim, as duas seções se comportam como se fossem um corpo único. E, desde que são engastadas, nas extremidades o ângulo é nulo.


Fig 2-I

Os ângulos de torção são os mesmos ϕAB = ϕBC = ϕB. Assim,

$$\phi_{AB} = {(T-T') L_{AB}\over J_{pAB} G} = \phi_{BC} = {T' L_{BC}\over J_{pBC} G} = \phi_B \tag{2A}$$
Portanto, T' LBC / (JpBC G) + T' LAB / (JpAB G) = T LAB / (JpAB G). Dividindo tudo por LAB / (JpAB G), obtém-se T' LBC (JpAB G) / LAB (JpBC G) + T' = T. Isolando T',

$$T' = \cfrac{T}{1 + \cfrac{L_{BC}\ J_{pAB}}{L_{AB}\ J_{pBC}}} \tag{2B}$$
Desde que por hipótese são conhecidos T, LAB, LBC e os momentos polares JpAB e JpBC (funções dos respectivos raios), o valor de T' fica definido e o ângulo de giro ϕB pode ser calculado conforme igualdade anterior (2A), se conhecido o valor do módulo de elasticidade transversal G, que depende do material da barra.

Esse é um exemplo de carregamento estaticamente indeterminado ou hiperestático de torção. As equações fundamentais da estática, ∑F = 0 e ∑M = 0, não são suficientes para definir todas as variáveis. Além delas, é necessário considerar o deslocamento.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008