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Torção III

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Tópicos: Energia da Deformação por Torção | Potência Transmitida, Diagrama de Momento e Ângulo de Torção |


1) Energia da Deformação por Torção

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Na Figura 1-I, uma barra cilíndrica de raio R e comprimento L com a extremidade A fixa está submetida a um torque T na extremidade B, de forma que o ângulo de torção nessa extremidade em situação de equilíbrio estático é ϕ. Deseja-se saber a energia gasta para atingir tal situação a partir da condição livre, isto é, girar um ponto na posição 1 até a posição 2 da figura, de forma que ele seja mantido nessa posição com um torque T aplicado.

Em página anterior, foi dada a equação para o ângulo em função do torque aplicado: ϕ = T L / (Jp G). Portanto, T = (Jp G / L) ϕ = k ϕ, onde k = Jp G / L.

O ângulo ϕ é, por definição, a razão entre segmento de circunferência a e o raio R: ϕ = a / R.

O torque T pode ser considerado igual ao momento de uma força tangencial F em relação ao eixo da barra, isto é, T = F R = k ϕ conforme igualdade anterior. Ou F = (k/R) ϕ.


Fig 1-I

O trabalho (ou energia da deformação) é dado pela integração do produto da força pelos deslocamentos infinitesimais. Calculando com as substituição de F e ϕ das igualdades anteriores,

$$W = \int_0^a F da = \int_0^a {k \over R} \phi da = \int_0^a {k \over R} {a \over R} da = {k \over 2} \left({a \over R}\right)^2 \tag{1A}$$

Mas a/R = ϕ e também ϕ = T/k conforme já visto. Assim, W = (k/2) ϕ2 = (k/2) (T2/k2) = T2 / (2k). Substituindo o valor de k (= Jp G / L), obtém-se o resultado:

$$W = {L T^2 \over 2 G J_p} \tag{1B}$$

2) Potência Transmitida, Diagrama de Momento e Ângulo de Torção

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A potência mecânica transmitida por um eixo está relacionada com o torque aplicado e a rotação de acordo com a seguinte fórmula:

$$P = T\ \omega \tag{2A}$$
P potência em watts
Ttorque em N m
ωrotação em radianos por segundo


Fig 2-I

A Figura 2-I dá o exemplo de uma barra cilíndrica com aplicação de dois esforços de torção em locais distintos. É suposto que a barra está engastada na extremidade C. Na parte inferior da figura são dados diagramas aproximados dos esforços de torção e ângulos de distorção ao longo do comprimento da barra.


Exemplo de Questão (prova perito Polícia Federal, ano desconhecido): a tensão cisalhante máxima τ em uma barra cilíndrica de seção circular com comprimento L e diâmetro D, submetida a um momento torsor T, é dada pela seguinte expressão (G = módulo de elasticidade transversal; J = momento de inércia polar; I = momento de inércia).

(a) τ = TL/(GJ) (b) τ = TD/(2J) (c) τ = 32T/(πD4) (d) τ = TL/(GI)

Solução: é a fórmula vista da tensão máxima de torção (τmax = T R / Jp), com a substituição de R por D/2. Portanto, resposta (b). Nota-se que a tensão máxima não depende do material e, portanto, as alternativas (a) e (d), que incluem o módulo de elasticidade transversal G, podem ser descartadas de imediato. A alternativa (c) sugere a substituição, na fórmula anterior, do valor de Jp (= π D4 / 32), mas está incorreta.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008