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Torção I

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Tópicos: Torção de Peças Circulares | Momento Polar de Resistência |


1) Torção de Peças Circulares

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Seja, conforme Figura 1-I, uma barra cilíndrica fixa em uma extremidade e submetida a um esforço de torção por um conjugado de torque T na outra extremidade. Essa solicitação é uma torção uniforme, uma vez que o material da barra é considerado homogêneo. Assim, todos os pontos de cada circunferência de qualquer seção transversal têm o mesmo deslocamento. Um plano que passa pelo eixo do cilindro sofre uma deformação tal que o ângulo φ sobre uma circunferência é função da distância x entre o círculo dessa circunferência e a extremidade engastada. Para determinar a relação entre ambos, é necessário o estudo das tensões em cada plano de seção transversal.


Fig 1-I

Na Figura 1-II é considerada uma porção elementar da barra, de comprimento dx. O processo de torção pode ser entendido como o cisalhamento de dois planos próximos (neste caso, as extremidades dessa seção elementar). A observação prática demonstra que o ângulo de distorção γ de uma superfície elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor máximo γmax na borda: γ = (r/R) γmax. Se os ângulos são proporcionais aos raios, as tensões de cisalhamento τ também são, pois é suposto que as deformações ocorrem dentro da região elástica do material. Assim,

$$\tau = {r \over R} \tau_{max} \tag{1A}$$
Na direção radial, do centro até a borda, as forças elementares são dadas pelo produto da tensão pela área elementar: dF = τ dA. E o torque é obtido pela integração:

$$T = \int r\ dF = \int r \tau dA \tag{1B}$$

Fig 1-II

Combinando com (1A), obtém-se:

$$T = {\tau_{max} \over R} J_p\quad\text{ou}\\\tau_{max} = {T\ R \over J_p}\quad\text{onde}\\J_p = \int r^2dA \tag{1C}$$
Jp é o momento polar de inércia da superfície (círculo neste caso) em relação ao eixo de rotação O.


Fig 1-III

Voltando à proporcionalidade entre raio e tensão de cisalhamento (1A), pode-se concluir que, em qualquer direção radial, a tensão varia de zero até τmax conforme (a) da Figura 1-III. Para o caso de eixo vazado (ou tubo) conforme (b) da figura, pode-se facilmente verificar que a tensão varia radialmente de um valor mínimo até τmax.

Outro aspecto que vale mencionar é o fato de as tensões de cisalhamento ocorrerem sempre em pares perpendiculares. Assim, em um corte hipotético de um eixo cilíndrico conforme Figura 1-IV, há tensões ao longo do eixo, de mesmos valores das tensões na seção transversal.


Fig 1-IV

Retorna-se agora à questão inicial deste tópico, isto é, o ângulo de torção da extremidade de um eixo cilíndrico na qual é aplicado um torque T, supondo a outra extremidade fixa e comprimento L. Na Figura 1-II, pode-se observar que, para uma pequena porção, dϕ R = γmax dx. Em página anterior, foi visto que a relação entre ângulo de cisalhamento e a respectiva tensão é τ = G γ. Assim, dϕ = τmax dx / (G R). Substituindo τmax pelo valor dado em (1C), dϕ = T dx / (Jp G). Portanto, o ângulo ϕ é dado pela integração:

$$\phi = \int_0^L {T \over J_p G} dx = {T L \over J_p G} \tag{1D}$$
Essa fórmula vale apenas para eixos de seção constante e submetido à torção na extremidade. Para outros casos, ela pode ser generalizada com torque e momento polar de inércia em função de x:

$$\phi = \int_0^L {T(x) \over J_p(x) G} dx \tag{1E}$$

2) Momento Polar de Resistência

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É definido pela relação:

$$W_p = {J_p \over R} \tag{2A}$$
Assim, a tensão máxima, dada conforme segunda equação de (1C), pode ser escrita como:

$$\tau_{max} = {T \over W_p} \tag{2B}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008