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Tensões IX

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Tópicos: Exemplo Numérico de Tensões no Espaço |


1) Exemplo Numérico de Tensões no Espaço

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Seja um estado de tensões conforme ilustração gráfica da Figura 1-I. Conforme esta página anterior, o tensor correspondente é dado por:

$$[\sigma] = \begin{bmatrix}120&-40&25\\-40&-20&50\\25&50&70\end{bmatrix} \tag{1A}$$
A questão é calcular as tensões principais, normais e de cisalhamento. Desta página e também desta, conclui-se que é basicamente a determinação dos autovalores da matriz, que são a solução da igualdade (1F) desta página:

$$\lambda^3-B\lambda^2+C\lambda-D = 0 \tag{1B}$$

Fig 1-I

O cálculo dos coeficientes é dado na mesma página. B = tr σ, ou seja, o traço (soma das diagonais) da matriz:

B = 120 + (−20) + 70 = 170

C = (1/2)[ (tr σ)2 − tr σ2 ] = 0,5 × (1702 − 29150 ) = −125. O termo tr σ2 é o traço da matriz σ multiplicada por ela mesma (operação conforme multiplicação de matrizes).

D = det σ = −667500. O determinante da matriz pode ser calculado conforme método desta página.

Assim, a equação característica do tensor é dada pela substituição desses valores em (1B):

$$\lambda^3-170\lambda^2-125\lambda+667500 = 0 \tag{1C}$$
Um método de aproximações sucessivas pode ser usado para resolver essa equação do terceiro grau. Transformando em uma função genérica,

$$f(x) = x^3-170x^2-125x+667500 \tag{1D}$$
As soluções da equação serão os pontos, no eixo horizontal, de interseção da curva conforme ilustração aproximada na Figura 2-II.


Fig 1-II

Aqui é usado o método da bisseção, que é simples, embora a convergência não seja tão rápida porque é um processo linear. A Figura 1-III dá o princípio para uma função genérica f(x).

Escolhem-se dois valores arbitrários x1 e x2 tais que f(x1) f(x2) < 0. Assim, pelo menos uma solução, f(x) = 0, está entre x1 e x2. Se o produto f(x1) f(xm) é positivo, o próximo valor de x1 é xm e x2 permanece. Caso contrário, o próximo valor de x2 é xm e x1 permanece. Continuando o procedimento, os valores médios se aproximam da solução conforme indicado na figura (xm, xm', etc).


Fig 1-III

No procedimento prático, deve-se estabelecer a exatidão desejada com um intervalo mínimo Δ = x2 − x1, executando as iterações até esse valor. O script a seguir é para uso com GNU Octave ou MatLab.

1;
function fx = val(x)
fx = (x^3 - 170*x^2 - 125*x + 667500);
endfunction
delta = 0.0001;
x1 = -100;
x2 = 50;
while ( (x2 - x1) > delta )
xm = (x2 + x1) / 2;
if ( (val(x1) * val(xm))  >  0 ) 
x1 = xm;
else
x2 = xm;
endif
endwhile
xm

O resultado é xm ≈ −54,773. Pode-se supor esse valor como λ3 de (1H) em Autovalores, Autovetores, Invariantes, Eixos Principais. Assim,

λ1 + λ2 − 54,773 = 170
λ1 λ2 + λ2 (− 54,773) + λ1 (− 54,773) = −125
λ1 λ2 (− 54,773) = −667500


Combinando a primeira e última,

λ1 + 66750054,773 λ1 − 54,773 = 170

54,773 λ1 λ1 + 667500 − 54,773 54,773 λ1 = 170 54,773 λ1
54,773 λ12 − 12311,492 λ1 + 667500 = 0

As duas soluções dessa equação do segundo grau são as demais variáveis: λ1 ≈ 133,46 e λ2 ≈ 91,31. Do tópico Tensões Principais no Espaço, os autovalores correspondem às tensões principais. Assim,

σ1 ≈ 133,46   σ2 ≈ 91,31   σ3 ≈ −54,77

As tensões principais de cisalhamento são calculadas conforme este tópico, igualdade (2F).
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008