Tensões 09

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Tensões IX

1) Exemplo Numérico de Tensões no Espaço

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Seja um estado de tensões conforme ilustração gráfica da Figura 1-I. Conforme esta página anterior, o tensor correspondente é dado por:

$$[\sigma] = \begin{bmatrix}120&-40&25\\-40&-20&50\\25&50&70\end{bmatrix} \tag{1A}$$
A questão é calcular as tensões principais, normais e de cisalhamento. Desta página e também desta, conclui-se que é basicamente a determinação dos autovalores da matriz, que são a solução da igualdade (1F) desta página:

$$\lambda^3-B\lambda^2+C\lambda-D = 0 \tag{1B}$$

Fig 1-I

O cálculo dos coeficientes é dado na mesma página. B = tr σ, ou seja, o traço (soma das diagonais) da matriz:

B = 120 + (−20) + 70 = 170

C = (1/2)[ (tr σ)² − tr σ² ] = 0,5 × (170² − 29150 ) = −125. O termo tr σ² é o traço da matriz σ multiplicada por ela mesma (operação conforme multiplicação de matrizes).

D = det σ = −667500. O determinante da matriz pode ser calculado conforme método desta página.

Assim, a equação característica do tensor é dada pela substituição desses valores em (1B):

$$\lambda^3-170\lambda^2-125\lambda+667500 = 0 \tag{1C}$$
Um método de aproximações sucessivas pode ser usado para resolver essa equação do terceiro grau. Transformando em uma função genérica,

$$f(x) = x^3-170x^2-125x+667500 \tag{1D}$$
As soluções da equação serão os pontos, no eixo horizontal, de interseção da curva conforme ilustração aproximada na Figura 2-II.

Fig 1-II

Aqui é usado o método da bisseção, que é simples, embora a convergência não seja tão rápida porque é um processo linear. A Figura 1-III dá o princípio para uma função genérica f(x).

Escolhem-se dois valores arbitrários x₁ e x₂ tais que f(x₁) f(x₂) < 0. Assim, pelo menos uma solução, f(x) = 0, está entre x₁ e x₂. Se o produto f(x₁) f(x_m) é positivo, o próximo valor de x₁ é x_m e x₂ permanece. Caso contrário, o próximo valor de x₂ é x_m e x₁ permanece. Continuando o procedimento, os valores médios se aproximam da solução conforme indicado na figura (x_m, x_m', etc).

Fig 1-III

No procedimento prático, deve-se estabelecer a exatidão desejada com um intervalo mínimo Δ = x₂ − x₁, executando as iterações até esse valor. O script a seguir é para uso com GNU Octave ou MatLab.

1;
function fx = val(x)
fx = (x^3 - 170*x^2 - 125*x + 667500);
endfunction
delta = 0.0001;
x1 = -100;
x2 = 50;
while ( (x2 - x1) > delta )
xm = (x2 + x1) / 2;
if ( (val(x1) * val(xm))  >  0 ) 
x1 = xm;
else
x2 = xm;
endif
endwhile
xm

O resultado é xm ≈ −54,773. Pode-se supor esse valor como λ₃ de (1H) em Autovalores, Autovetores, Invariantes, Eixos Principais. Assim,

λ₁ + λ₂ − 54,773 = 170
λ₁ λ₂ + λ₂ (− 54,773) + λ₁ (− 54,773) = −125
λ₁ λ₂ (− 54,773) = −667500

Combinando a primeira e última,

λ₁ + ⁶⁶⁷⁵⁰⁰_{54,773 λ₁} − 54,773 = 170

54,773 λ₁ λ₁ + 667500 − 54,773 54,773 λ₁ = 170 54,773 λ₁
54,773 λ₁² − 12311,492 λ₁ + 667500 = 0

As duas soluções dessa equação do segundo grau são as demais variáveis: λ₁ ≈ 133,46 e λ₂ ≈ 91,31. Do tópico Tensões Principais no Espaço, os autovalores correspondem às tensões principais. Assim,

σ₁ ≈ 133,46 σ₂ ≈ 91,31 σ₃ ≈ −54,77

As tensões principais de cisalhamento são calculadas conforme este tópico, igualdade (2F).

Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994. Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002 Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962. Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979. Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008