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Tensões VII

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Tópicos: Tensões Principais no Espaço | Tensões de Cisalhamento |


1) Tensões Principais no Espaço

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Na primeiro tópico da página anterior foi visto que tensões no espaço conforme ilustração da Figura 1-I podem ser representadas por um tensor simétrico de segunda ordem segundo (1F) da mesma página.


Fig 1-I

Da página Tensores - Algumas Notas VI, pode ser visto que, neste caso, o sistema de coordenadas ortogonais formado pelos autovetores contém tensões apenas nas suas direções, ou seja, normais às faces da porção física considerada (Fgura 1-II).


Fig 1-II

Assim, se as coordenadas de referência são os eixos dos autovetores (denominados eixos principais), o tensor das tensões contém apenas as tensões principais na diagonal da matriz:

$$[\sigma] = \begin{bmatrix}\sigma_1&0&0\\0&\sigma_2&0\\0&0&\sigma_3\end{bmatrix} \tag{1A}$$
Na mesma página, também é demonstrado que, entre as tensões principais (σ1, σ2 e σ3), estão os valores máximo e mínimo que podem ser obtidos com a rotação do sistema de coordenadas do tensor, ou seja, são as solicitações máxima e mínima de tensão normal a que o material está submetido com o estado de tensões definido pelo tensor.


2) Tensões de Cisalhamento

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Nos eixos principais, as tensões são apenas normais conforme tópico anterior. Para determinar a relação dessas com as tensões transversais (cisalhamento), considera-se o tensor na referência dos eixos principais (1A) e um vetor unitário $\vec n$ em uma direção qualquer. Segundo (1H) e (1I) da página anterior:

$$\tau^2 = (\sigma_1^2n_1^2+\sigma_2^2n_2^2+\sigma_3^2n_3^2)-(\sigma_1n_1^2+\sigma_2n_2^2+\sigma_3n_3^2)^2 \tag{2A}$$
Desde que $\vec n$ é unitário,

$$n_1^2+n_2^2+n_3^2=1\quad\therefore\quad n_3^2=1-n_1^2-n_2^2 \tag{2B}$$
Substituindo,

$$\tau^2 = (\sigma_1^2-\sigma_3^2)n_1^2 + (\sigma_2^2-\sigma_3^2)n_2^2 + \sigma_3^2 -\left[(\sigma_1-\sigma_3)n_1^2 + (\sigma_2-\sigma_3)n_2^2+\sigma_3 \right]^2 \tag{2C}$$
As direções dos valores máximo e mínimo de τ são determinadas pelas derivadas nulas em relação a n1 e a n2:

$${\partial \tau^2 \over \partial n_1^2} = 0\quad\text{e}\quad{\partial \tau^2 \over \partial n_2^2} = 0 \tag{2D}$$
O procedimento deve ser repetido com isolamento de n1 e n2 em (2B), formando, portanto, 6 equações diferenciais. O desenvolvimento da solução é relativamente simples e aqui não é dado. Uma das soluções é:

n1 = 0 n2 = 0 n3 = ±1
n1 = 0 n3 = 0 n2 = ±1
n2 = 0 n3 = 0 n1 = ±1


Considerando $\vec e$ o vetor unitário dos eixos principais (referência), essas soluções equivalem a:

$$\vec n = \vec e_1\therefore \tau = 0\\\vec n = \vec e_2\therefore \tau = 0\\\vec n = \vec e_3\therefore \tau = 0 \tag{2E}$$
Ou seja, são os três eixos principais, onde as tensões transversais são nulas conforme tópico anterior. Outro conjunto de soluções é dado por:

n1 = 0 n2 = ±1/√2 n3 = ±1/√2
n1 = ±1/√2 n2 = 0 n3 = ±1/√2
n1 = ±1/√2 n2 = ±1/√2 n3 = 0


Portanto, os vetores e as tensões, calculadas por substituição em (2C), são dados por:

$$n = \begin{bmatrix}0\\\pm1/\sqrt 2\\\pm1/\sqrt 2\end{bmatrix}\therefore \tau_1 = \tfrac{1}{2}|\sigma_2-\sigma_3|\\n = \begin{bmatrix}\pm1/\sqrt 2\\0\\\pm1/\sqrt 2\end{bmatrix}\therefore \tau_2 = \tfrac{1}{2}|\sigma_3-\sigma_1|\\n = \begin{bmatrix}\pm1/\sqrt 2\\\pm1/\sqrt 2\\0\end{bmatrix}\therefore \tau_3 = \tfrac{1}{2}|\sigma_1-\sigma_2| \tag{2F}$$
Essas tensões (τ1, τ2 e τ3) são denominadas tensões principais de cisalhamento. Considerando a hipótese de $\sigma_1\ge\sigma_2\ge\sigma_3$, a máxima tensão de cisalhamento é dada por:

$$\tau_m = {1\over 2}(\sigma_1 - \sigma_3) \tag{2G}$$
Considerando os componentes dos vetores $\vec n$ de (2F), conclui-se que as tensões principais de cisalhamento atuam em planos inclinados de 45° em relação aos eixos principais das tensões normais conforme tópico anterior.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008