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Tensões VI

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Tópicos: Tensões no Espaço |


1) Tensões no Espaço

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Nas páginas anteriores foram dados os princípios básicos da análise de tensões em um plano. Na prática, os corpos são sempre tridimensionais, mas em vários casos as tensões mais importantes atuam em determinado plano (ou mesmo em determinado eixo) e as demais podem ser desprezadas. Mas há situações em que as tensões nos três eixos são relevantes e não devem ser desconsideradas.

Para análise, considera-se um volume em forma de paralelepípedo do corpo a estudar. Ver Figura 1-I. Conforme pode ser deduzido do estudo em páginas anteriores, cada face é submetida a uma tensão normal e a uma tensão transversal.


Fig 1-I

Uma superfície genérica (não paralela a nenhum eixo) pode ser dada pelo plano ABC que divide o paralelepípedo pela metade. Portanto, o objeto geométrico do estudo é o tetraedro OABC conforme Figura 1-II (não está na mesma proporção da figura anterior).

Em cada face perpendicular a um eixo atuam as tensões normais e transversais indicadas. No centro de gravidade GABC do plano ABC atua uma tensão $\vec\rho$ cujos componentes são indicados no canto superior esquerdo da figura. Pode-se então escrever a soma vetorial:

$$\vec\rho = \vec\rho_x + \vec\rho_y + \vec\rho_z \tag{1A}$$
Considerando vetores unitários em cada eixo de coordenadas,

$$\vec\rho = \rho_x\vec u_x+\rho_y\vec u_y+\rho_z\vec u_z \tag{1B}$$
Seja $\vec n$ um vetor unitário normal à superfície ABC. Em termos de componentes,

$$\vec n = \vec n_x+\vec n_y+\vec n_z = \cos\alpha_x\vec u_x+\cos\alpha_y\vec u_y+\cos\alpha_z\vec u_z \tag{1C}$$
Onde αx αy αz são os ângulos da normal com os eixos de coordenadas.

Vale também observar que a condição de equilíbrio da soma nula dos momentos permite deduzir as igualdades em pares de valores absolutos das tensões transversais:

$$\tau_{xy} = \tau_{yx}\\\tau_{xz} = \tau_{zx}\\\tau_{yz} = \tau_{zy} \tag{1D}$$

Fig 2-I

O equilíbrio estático permite concluir:

$$\vec \rho_x = -(\sigma_x\vec n_x+\tau_{xy}\vec n_y+\tau_{xz}\vec n_z)\\\vec \rho_y = -(\tau_{yx}\vec n_x+\sigma_y\vec n_y+\tau_{yz}\vec n_z)\\\vec \rho_z = -(\tau_{zx}\vec n_x+\tau_{zy}\vec n_y+\sigma_z\vec n_z) \tag{1E}$$
Em termos escalares, considerando as igualdades (1E) e (1C), pode-se representar os componentes na forma de produto de matrizes:

$$\begin{bmatrix}\rho_x\\\rho_y\\\rho_z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sigma_x&\tau_{xy}&\tau_{xz}\\\tau_{yx}&\sigma_y&\tau_{yz}\\\tau_{zx}&\tau_{zy}&\sigma_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\alpha_x\\\cos\alpha_y\\\cos\alpha_z\end{bmatrix} \tag{1F}$$
Em forma compacta,

$$[\rho] = [\sigma][n] \tag{1G}$$
A matrix 3×3 do lado direito é denominada matriz de tensões ou tensor dos esforços no espaço (algumas informações sobre tensores são dadas nesta página e outras da série). E o módulo da tensão σ, normal à superfície ABC, é dado pelo produto escalar:

$$\sigma = \vec\rho \cdot \vec n \tag{1H}$$
Para o componente transversal τ, o módulo é dado por:

$$\tau = \sqrt{\vec\rho\cdot\vec\rho - \sigma^2} \tag{1I}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008