Tensões 05

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Tensões V

1) Círculo de Mohr - Exemplo Numérico

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Seja o estado de tensão dado em (a) da Figura 1-I. Determinar o círculo de Mohr correspondente, bem como as tensões principais, a sua direção e o cisalhamento máximo. Considerar valores em kPa.

Fazendo a correspondência com os símbolos adotados,

σ_x	= 4000 kPa
σ_y	= 3000 kPa
τ_xy	= 1000 kPa

Os pontos do círculo, correspondentes às tensões dos eixos X e Y, são:

C(σ_x, +τ_xy)	= C(4000, +1000)
D(σ_y, −τ_xy)	= C(3000, −1000)

Conforme página anterior, esses pontos são diametralmente opostos e, portanto, o centro O fica definido pela interseção de CD com o eixo horizontal e o círculo pode ser traçado.

Fig 1-I

O valor do raio pode ser obtido de forma mais precisa com (1B) da página anterior:

R² =

(

^{σ_x − σ_y}₂

)

² + τ_xy² =

(

^{4000 − 3000}₂

)

² + 1000². Portanto, R ≈ 1118 kPa

A tensão média é dada por:

σ_m = ^{σ_x + σ_y}₂ = ^{4000 + 3000}₂ = 3500 kPa

Portanto, o centro tem as coordenadas O(3500, 0). E as tensões principais são dadas pelo valor de σ em A e em B:

σ₁ = 3500 + 1118 = 4618 kPa
σ₂ = 3500 − 1118 = 2382 kPa

O cisalhamento máximo é dado pelo valor de τ em E, ou seja, τ_max = 1118 kPa

A direção do eixo principal (ϕ_p) é indicada graficamente pela linha BC e o valor pode ser obtido por trigonometria com o ângulo 2 ϕ_p em AOC:

tan (2 ϕ_p) = ^τ_xy_{σ_x − σ_m} = ¹⁰⁰⁰_{4000 − 3500} = 2

Resolvendo, ϕ_p ≈ 31,7°

2) Círculo de Mohr - Rotação de Eixos

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O círculo de Mohr pode ser usado para determinar o novo estado de tensões resultante de um deslocamento angular de um estado conhecido de tensões. O estado de tensões em (a) da Figura 2-I é supostamente conhecido, isto é, são definidos os eixos X e Y e os valores das tensões σ_x, σ_y e τ_xy.

Em (b) da mesma figura, o sistema de coordenadas original é girado do ângulo ϕ, resultando em X'Y'. Deseja-se saber o novo estado de tensão, isto é, σ'_x, σ'_y e τ'_xy.

Com o uso do círculo de Mohr, esses valores podem ser obtidos de forma bastante prática: em primeiro lugar, determinam-se os pontos C e D, correspondentes ao estado conhecido (a). Com esses pontos, o círculo fica definido e pode ser traçado.

Fig 2-I

Desde que, conforme já mencionado em páginas anteriores, os deslocamentos angulares do círculo de Mohr são o dobro dos reais, as tensões nas novas coordenadas (σ'_x, σ'_y e τ'_xy) são dadas pela reta C'D', girada de 2 ϕ em relação a CD.

Nota-se que há perfeita coerência com os conceitos já informados: se X'Y' são os eixos principais, a reta C'D' coincide com AB e as tensões são as principais.

Observa-se também que os deslocamentos angulares no círculo são opostos aos reais porque, conforme já visto, é usada a convenção de tensões σ e τ positivas no sentido de (a) da figura.

Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994. Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002 Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962. Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979. Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008