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Tensões IV

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Tópicos: Círculo de Mohr - Resumo |


1) Círculo de Mohr - Resumo

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Este tópico procura apresentar resumidamente os conceitos e igualdades anteriores na intenção de facilitar o uso prático do círculo de Mohr.

Em (a) da Figura 1-I, há um elemento submetido a um estado plano de tensão. O círculo de Mohr correspondente é traçado num sistema de coordenadas ortogonais τ σ (tensão de cisalhamento x tensão normal) com os parâmetros:

1) Centro em (σm, 0), onde:

$$\sigma_m = {\sigma_x + \sigma_y \over 2} \tag{1A}$$
Ou seja, σm é a tensão normal média.

2) Raio dado por:

$$R = \sqrt{\left({\sigma_x - \sigma_y \over 2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} \tag{1B}$$
Portanto, o círculo de Mohr pode ser traçado com as equações acima a partir de um estado conhecido de tensões σx, σy e τxy (lembrando que τxy = τyx).


Fig 1-I

As tensões principais, σ1 e σ2, são dadas pela interseção do círculo com o eixo horizontal, conforme pontos A e B da figura. Pode-se então escrever:

$$\sigma_{1,2} = \sigma_m \pm R \tag{1C}$$
Em (b) da Figura 1-I, há indicação das tensões principais, que atuam ao longo dos respectivos eixos principais xp e yp. Conforme visto em página anterior, são as tensões normais máxima e mínima atuantes no elemento (e não há cisalhamento nas direções principais). ϕp é o deslocamento angular, em relação aos eixos principais, do estado de tensão (a) considerado.

O ponto C corresponde às tensões no eixo X do elemento (a) da figura. Pode ser determinado a partir dos valores das tensões e do círculo traçado.

No círculo de Mohr, os deslocamentos angulares são o dobro dos deslocamentos físicos. Assim, o eixo Y de (a) da Figura 1-I, que é deslocado de 90° de X, é deslocado de 180° no círculo, ou seja, é representado pelo ponto D. E o ângulo do eixo principal ϕp corresponde a 2 ϕp no círculo.

Os pontos extremos na vertical (E e F) indicam as tensões máxima e mínima de cisalhamento. Desde que, no círculo, estão deslocadas de 90° em relação aos eixos principais (A e B), conclui-se que fisicamente estão a 45° dos eixos principais, conforme deduzido em página anterior.


Fig 1-II

Considera-se agora a Figura 1-II. Das propriedades geométricas da circunferência, deduz-se que, se o ângulo AOC é 2 ϕp, o ângulo ABC é a metade desse valor, isto é, ϕp. Então, a direção da tensão principal pode ser graficamente determinada pela reta que passa pelos pontos B e C.

Convenções: no elemento (a) da Figura 1-I, ocorrem tensões normais (σx e σy) positivas (tração). O cisalhamento é também positivo com as direções indicadas. Nota-se que o deslocamento angular 2 ϕp no círculo de Mohr ocorre em direção oposta ao deslocamento físico ϕp. Algumas publicações usam convenção contrária para o cisalhamento e os deslocamentos angulares passam a ter a mesma direção.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008