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Tensões III

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Tópicos: Círculo de Mohr para Tensões Planas |


1) Círculo de Mohr para Tensões Planas

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As equações (1B) e (1C) do tópico Tensões Planas podem ser reescritas como:

σ − σy + σx2 = σy − σx2 cos 2ϕ + τxy sin 2ϕ

τ = σy − σx2 sin 2ϕ − τxy cos 2ϕ

Fazendo d = σy − σx2 e elevando ambas ao quadrado e somando,

(

σ − σy + σx2

)

2 + τ2 = d2 cos2 2ϕ + τxy2 sin2 2ϕ + 2 d cos 2ϕ τxy sin 2ϕ + d2 sin2 2ϕ + τxy2 cos2 2ϕ − 2 d sin 2ϕ τxy cos 2ϕ


Portanto,

(

σ − σy + σx2

)

2 + τ2 = d2 + τxy2 =

(

σx − σy2

)

2 + τxy2


A tensão normal média é dada por:

$$\sigma_m = {\sigma_x + \sigma_y \over 2} \tag{1A}$$
Considera-se também a grandeza R tal que:

$$R^2 = \left({\sigma_x - \sigma_y \over 2}\right)^2 + \tau_{xy}^2 \tag{1B}$$
E a equação anterior fica resumida a:

$$(\sigma - \sigma_m)^2 + \tau^2 = R^2 \tag{1C}$$
Onde σm e R são dados pelas expressões anteriores (1A) e (1B).

Essa igualdade permite concluir que, num sistema de coordenadas ortogonais (σ τ), os valores das tensões normais e transversais estão em um círculo de raio R e centro em m, 0). É denominado círculo de Mohr em homenagem ao engenheiro alemão Otto Mohr.

A Figura 1-I dá exemplo de um círculo de Mohr traçado a partir de um determinado conjunto de valores σx, σy e τxy. O centro do círculo é determinado pela tensão média (1A). Assim, OC = σm = (σx + σy) / 2. E o raio é definido conforme (1B).


Fig 1-I

Desde que OI = σy, tem-se IE = τyx. O ponto diametralmente oposto (F) corresponde a σx e τxy. Esta última é igual, em módulo, a τyx, conforme (1A) do tópico Tensões Planas. Observa-se a diferença de 180° que corresponde a , isto é, o ângulo de 90º entre os eixos x e y.

OA é a tensão mínima σ2 e OB a máxima σ1. Assim, CB e CA representam os planos principais. Nota-se que a tensão de cisalhamento τ é nula em B e em A, conforme (1C) de Tensões Principais no Plano. As direções de cisalhamentos máximo e mínimo (CH e CG) estão deslocadas de 2ϕ = 90° (ou ϕ = 45°) dos planos principais, conforme Tensões de Cisalhamento no Plano. O ângulo entre CB e CE (p) representa o ângulo ϕp entre o plano y e o principal 1.

Nas direções de máximo e mínimo cisalhamento (CG e CH), as tensões normais são idênticas e iguais a σm. Pela simetria do círculo, pode-se notar que a soma σx + σy é constante.


Fig 1-II

Alguns casos particulares para o círculo de Mohr são exibidos na Figura 1-II: tração simples em (a), compressão simples em (b) e cisalhamento simples em (c).
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008