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Tensões II

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Tópicos: Tensões Principais no Plano | Tensões de Cisalhamento no Plano |


1) Tensões Principais no Plano

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As equações (1B) e (1C) da página anterior permitem determinar as tensões normal e transversal em qualquer plano, dadas as tensões normais e transversais em dois eixos ortogonais conhecidos x e y. Entretanto, em muitos problemas de Engenharia, o que se deseja saber são as tensões máximas para fins de dimensionamento do elemento.

Para se obter a direção da tensão normal máxima, é preciso derivar (1B) mencionada em relação a ϕ e igualar a zero:

= − y − σx) 2 sin 2ϕ2 + 2 τxy cos 2ϕ = 0

Resolvendo a equação diferencial,

$$\tan 2\phi = {2 \tau_{xy}\over \sigma_y - \sigma_x} \tag{1A}$$
Essa igualdade, por sua vez, tem duas soluções, (2ϕ)1 e (2ϕ)2, que diferem 180º entre si. Portanto, ϕ1 e ϕ2 diferem de 90° e a dualidade de soluções significa que há uma tensão máxima σ1 e uma tensão mínima σ2.

As tensões, σ1 e σ2, são denominadas tensões principais e os eixos correspondentes (ângulos ϕ1 e ϕ2) são denominados eixos principais, que, conforme visto, são ortogonais entre si.

Na Figura 1-I estão representados os ângulos (2ϕ)1 e (2ϕ)2. A equação (1A) pode ser reescrita para:

tan 2ϕ = τxyy − σx) / 2


Fig 1-I

Considera-se agora na mesma figura:

11' = + τxy

22' = − τxy

O1' = + σy − σx2

O2' = − σy − σx2


Por trigonometria simples, as seguintes relações são deduzidas:

sin (2ϕ)1 = + τxy{ [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2

sin (2ϕ)2 = − τxy{ [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2

cos (2ϕ)1 = + y − σx)/2{ [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2

cos (2ϕ)2 = − y − σx)/2{ [(σy − σx)/2]2 + τxy2 }1/2

Substituindo esses valores em (1B) da página anterior, são obtidas as tensões normais principais, σ1 e σ2:

$$\sigma_{1,2} = \tfrac{1}{2}(\sigma_y+\sigma_x) \pm \tfrac{1}{2}\sqrt{(\sigma_y-\sigma_x)^2 + 4\tau_{xy}^2} \tag{1B}$$
Substituindo agora os valores em (1C) da página anterior, obtém-se as tensões de cisalhamento:

$$\tau_{1,2} = 0 \tag{1C}$$
Esse resultado indica que não há cisalhamento nos eixos principais.


2) Tensões de Cisalhamento no Plano

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De forma similar à anterior, as tensões transversais máxima e mínima podem ser obtidas com a derivada de (1C) da página anterior, em relação a ϕ, igual a zero:

= 2 [ (σy − σx) cos 2ϕ ]2 − (−2) τxy sin 2ϕ = 0

Então,

$$\tan (2\phi)_t = - {\sigma_y - \sigma_x \over 2 \tau_{xy}} \tag{2A}$$
Obs: a notação (2ϕ)t serve para não confundir com da tensão normal do tópico anterior.

Também de forma similar à anterior, há duas soluções, (2ϕ)t1 e (2ϕ)t2, que diferem 180° entre si. Assim, ϕt1 e ϕt1 têm diferença de 90°.

Comparando (2A) com (1A) do tópico anterior, nota-se que o valor absoluto de um é o inverso do outro. Assim, e (2ϕ)t têm diferença de 90° e, portanto, ϕ e ϕt são separados de 45°. Ou seja, o par de eixos das tensões máxima e mínima de cisalhamento está na bissetriz do ângulo reto dos planos principais (tensões normais máxima e mínima).

Formulando seno e cosseno para (2ϕ)t1 e (2ϕ)t2 de maneira similar à do tópico anterior e substituindo em (1C) da página anterior, chega-se a:

$$\tau_{t1,t2} = \pm \tfrac{1}{2} \sqrt{(\sigma_y-\sigma_x)^2 + 4\tau_{xy}^2} \tag{2B}$$
O resultado indica que as tensões transversais máxima e mínima têm valores absolutos idênticos, diferindo no sinal.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008