Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Tensões I

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Tensões Planas |


1) Tensões Planas

(Topo | Fim pág)

Seja, por exemplo, um corpo em forma de disco conforme Figura 1-I. A espessura (dimensão z) é pequena em relação às demais dimensões. Nessa condição, pode-se considerar que tensões normais e transversais atuantes em quaisquer partes elementares do corpo ocorrem somente no plano xy conforme A da figura. Essa situação é dita tensões planas ou estado duplo de tensões.


Fig 1-I

Considera-se agora uma porção retangular do corpo de pequenas dimensões Δx e Δy (Figura 1-II). A espessura é supostamente Δz, que é a espessura (pequena) do corpo. Portanto, as áreas dos lados dos eixos x e y são respectivamente Δx Δz e Δy Δz.

Na situação de equilíbrio estático, a soma dos momentos em relação a um ponto qualquer é nula. Seja o centro O o ponto considerado. Assim, os momentos das forças das tensões normais são nulos pois as linhas passam pelo ponto. Sobram os momentos das forças das tensões transversais. Desde que as forças correspondentes são as tensões multiplicadas pelas respectivas áreas de atuação, tem-se:

τxy Δy Δz Δx2 + τ'xy Δy Δz Δx2 − τyx Δx Δz Δy2 − τ'yx Δx Δz Δy2 = 0

A igualdade pode ser dividida pelo fator comum Δx Δy Δz / 2, resultando em:

τxy + τ'xy − τyx − τ'yx = 0

Sejam τ'xy =  τxy + Δτxy e também τ'yx = τyx + Δτyx. Assim,

τxy + τxy + Δτxy − τyx − τyx − Δτyx = 0

τxy − τyx = Δτyx − Δτxy2. Na situação limite, o lado direito dessa equação tende para zero e pode-se escrever:

$$\tau_{xy} = \tau_{yx} \tag{1A}$$

Fig 1-II

Para uma porção de seção triangular conforme Figura 03, usam-se as condições de equilíbrio estático ∑ Fx = 0 e ∑ Fy = 0. Determinam-se então as tensões no lado BC considerando conhecidas as tensões nos eixos x e y, isto é, σx, σy e τxy (esta última e τyx são iguais conforme resultado anterior).

Chamando de ΔS (= BC Δz) a área do lado BC, a área do lado AC é ΔS sin ϕ e a do lado AB é ΔS cos ϕ. Considera-se agora um sistema de coordenadas x'y' tal que o eixo x' é perpendicular a BC:

∑ Fx' = 0 = σ ΔS − σx ΔS sin ϕ sin ϕ − σy ΔS cos ϕ cos ϕ − τxy ΔS sin ϕ cos ϕ − τxy ΔS cos ϕ sin ϕ

Isolando σ, ocorre:

σ = σx sin2 ϕ + σy cos2 ϕ + τxy sin ϕ cos ϕ + τxy 2 sin ϕ cos ϕ


Fig 1-III

A expressão anterior pode ser simplificada com as igualdades trigonométricas:

sin 2ϕ = 2 sin ϕ cos ϕ

sin2 ϕ = 1 − cos 2ϕ2

cos2 ϕ = 1 + cos 2ϕ2

O resultado é:

$$\sigma = {\sigma_y + \sigma_x \over 2} + {(\sigma_y - \sigma_x)\cos 2\phi \over 2} + \tau_{xy} \sin 2\phi \tag{1B}$$
Procedendo de forma similar para o eixo y',

∑ Fy' = 0 = τ ΔS + σx ΔS sin ϕ cos ϕ − σy ΔS cos ϕ sin ϕ − τxy ΔS sin ϕ sin ϕ + τxy ΔS cos ϕ cos ϕ

Usando as igualdades trigonométricas anteriores, chega-se a:

$$\tau = {(\sigma_y - \sigma_x)\sin 2\phi \over 2} - \tau_{xy} \cos 2\phi \tag{1C}$$
Portanto, as igualdades (1B) e (1C) permitem determinar as tensões em uma direção qualquer a partir das tensões conhecidas em um par de eixos ortogonais x e y.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008