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Problemas Hiperestáticos II

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Tópicos: Viga Horizontal com Três Apoios |


1) Viga Horizontal com Três Apoios

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A Figura 1-I (a) ilustra uma viga horizontal de seção transversal constante com três apoios e submetida às forças externas conhecidas F e H em cada vão. As reações dos apoios são A, C e B. As distâncias horizontais são todas conhecidas, valendo portanto,

$$a + b = \alpha + \beta = m + n = L \tag{1A}$$
Desde que só há forças verticais, de ∑ Fy = 0 tem-se:

$$A+B+C = -F-H \tag{1B}$$
De ∑ M = 0 em relação a A, por exemplo, tem-se:

$$mC + LB = -aF - \alpha H \tag{1C}$$
Há portanto três valores desconhecidos (A, C, B) e duas equações, caracterizando um carregamento hiperestático. Pode-se resolver o problema lembrando que é nulo o valor da linha elástica em C. E, usando o método da superposição, considera-se a situação (a) igual à soma dos carregamentos listados a seguir.

(b) só com atuação da força F, que produz um deslocamento yF em C.

(c) só com atuação da força H, que produz um deslocamento yH em C.

(d) só com atuação da força de reação C, que produz um deslocamento yC em C.


Fig 1-I

Para que a superposição resulte em (a), deve-se ter:

$$y_C = -y_F - y_H \tag{1D}$$
Esses três carregamentos simples são do mesmo tipo, isto é, viga bi-apoiada com carga concentrada em posição genérica. As fórmulas já foram dadas em páginas anteriores, como esta. Assim,

(b) yF é a flecha para x = n:

$$y_F = \frac{FL^3}{6EJ} \frac{b}{L}\left(\frac{a}{L}\right)^2 \frac{n}{L} \left(1 + \frac{L}{a} - \frac{n^2}{ab}\right) \tag{1E}$$
(c) yH é a flecha para x = m:

$$y_H = \frac{HL^3}{6EJ} \frac{\alpha}{L}\left(\frac{\beta}{L}\right)^2 \frac{m}{L} \left(1 + \frac{L}{\beta} - \frac{m^2}{\alpha\beta}\right) \tag{1F}$$
(d) yC é a flecha no ponto de aplicação da força:

$$y_C = {C m^2 n^2 \over 3 E J L} = 2 {C L^3 \over 6 E J} \left({mn \over L^2}\right)^2 \tag{1G}$$
Substituindo (1E), (1F) e (1G) em (1D), obtém-se o resultado após simplificação:

$$C = {-Fba^2 \over 2nm^2}\left(1+{L \over a}-{n^2 \over ab}\right)+{-H\alpha\beta^2 \over 2mn^2}\left(1+{L \over \beta}-{m^2 \over \alpha\beta}\right) \tag{1H}$$
Com essa fórmula, a reação C é determinada e as demais (A e B) são obtidas por (1B) e (1C).
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008