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Problemas Hiperestáticos I

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Tópicos: Introdução e Exemplo |


1) Introdução e Exemplo

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Sejam as equações fundamentais da estática, considerando forças no plano:

$$\sum F_x = 0\\\sum F_y = 0\\\sum M = 0 \tag{1A}$$
Carregamentos hiperestáticos ou estaticamente indeterminados ocorrem quando essas relações não são suficientes para determinar os esforços atuantes.

Um exemplo para compressão, é dado pela Figura 1-I: uma barra vertical de seção transversal constante S, da qual se despreza o peso próprio, engastada em ambas as extremidades.

Se o engaste é feito sem qualquer deformação prévia, não há esforços atuantes, como em (a) da figura. Se uma força vertical para baixo F é aplicada em um determinado ponto C conforme (b), é fácil concluir que a parte superior estará sob tração e a inferior sob compressão. E os esforços atuantes serão como em (c) da figura.


Fig 1-I

Se aplicadas as equações da estática,

$$A + B = -F \tag{1B}$$
Desde que somente F é conhecido, não é possível determinar os esforços A e B com apenas uma equação. Nota-se que é inútil, neste caso, aplicar a soma dos momentos, mesmo em relação a um ponto fora do alinhamento das forças. O resultado será a mesma equação.

Para a solução (e isso sempre ocorre com problemas hiperestáticos) precisa-se considerar uma condição externa de deslocamento de forma a obter uma segunda equação. A geometria do caso mostra que o ponto de aplicação da força se desloca de uma distância d, conforme indicado na figura. Se consideradas separadamente as partes tracionada e comprimida de acordo com (d) e (e) da figura, conclui-se que elas irão sofrer a mesma deformação d.

De acordo com a lei de Hooke,

$$\sigma = {F \over S} = E\ \epsilon = E {\Delta L \over L} \tag{1C}$$
Isolando ΔL,

$$\Delta L = {F\ L \over E\ S} \tag{1D}$$
Neste caso, considerando apenas módulos,

$$\Delta L = d = {B\ b \over E\ S} = {A\ a \over E\ S}\\\therefore a\ A = b\ B \tag{1E}$$
Se substituídos na equação anterior (1B), chega-se aos valores das reações A e B em termos de parâmetros supostamente conhecidos:

$$A = {-F\ b \over a + b}\\B = {-F\ a \over a + b} \tag{1F}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008