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Flexão XII

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Tópicos: Exemplo do Método da Superposição |


1) Exemplo do Método da Superposição

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A Figura 1-I (a) representa uma viga de uma plataforma. Na prática, vigas de estruturas são em geral engastadas, não bi-apoiadas. Mas a suposição pode ser válida e dá alguma margem de segurança.

A viga suporta uma carga distribuída uniforme q1 devido ao peso próprio, outra da mesma espécie q2 devido ao piso metálico da plataforma e uma carga concentrada F no centro devido à ação de um equipamento sobre a plataforma. Consideram-se os seguintes dados:

• comprimento L = 3,5 m

• carga F = −6900 N. Carga q2 = −1400 N/m

• usado perfil U laminado de aço, tamanho 6" x 12,2 kg/m

Deseja-se verificar se o perfil está adequadamente dimensionado para a solicitação.

Para a solução, são obtidos outros parâmetros a partir dos dados informados:

• q1 deve ser a carga do perfil anterior, isto é, q1 = 12,2 (kg/m) × −9,81 (m/s2) ≈ −120 N/m

• para o perfil informado, conforme tabela desta página, Jx = 546 cm4 e Wx = 71,7 cm3

• para aços em geral, módulo de elasticidade E = 206 GPa


Fig 1-I

As cargas uniformemente distribuídas podem ser somadas. Portanto, o carregamento da Figura 1-I (a) equivale ao (b), onde q = q1 + q2 = −1520 N/m

Para esse carregamento, poder-se-ia levantar matematicamente as curvas de esforços transversais e momentos conforme. Entretanto, a tarefa pode ser mais simples. Em páginas anteriores, foram vistas as relações entre carregamentos q(x), esforços transversais Fc(x), momentos de flexão M(x) e linha elástica y(x):

$$\begin{align}{dF_c(x)\over dx} &= -q(x)\\{dM(x) \over dx} &= -F_c(x)\\\dfrac{d^2y}{dx^2} &= {M(x) \over E\ J}\end{align} \tag{1A}$$
São equações diferenciais lineares e, portanto, pode ser usado o método da superposição. Isso significa que o carregamento (b) da figura pode ser considerado a soma de dois carregamentos mais simples: (c), de uma carga distribuída uniforme e (d), de uma carga concentrada no meio. Neste exemplo, a análise é ainda mais simples porque os pontos de máximo momento de flexão e máxima deformação são coincidentes (meio da viga). Se isso não ocorre, as curvas dos carregamentos devem ser somadas para obter os valores máximos.

Para o carregamento (c), conforme Viga Apoiada com Carga Uniformemente Distribuída, momento máximo é dado por:

M(c) = − q L28 = − −1520 (N/m) × (3,5 m)28 = 2327,5 Nm

Para o carregamento (d), conforme Diagramas de Esforços em Vigas, tem-se momento máximo:

M(d) = −F (L − L/2) L/2L = −F L4 = − −6900 (N) × 3,5 (m)4 = 6037,5 Nm

Portanto,

M = M(c) + M(d) = 8365 Nm

Desde que o perfil adotado é simétrico em relação ao eixo considerado (x), usa-se igualdade do momento de resistência para a tensão de flexão:

σ =MW = 8365 Nm71,7 × (10−2 m)3 ≈ 117 MPa

As deformações máximas são obtidas por fórmulas dadas em Vigas de Seção Constante:

y(c) = 5 q L4384 E J = 5 × (−1520) (N/m) × (3,5 m)4384 × 206 × 109(Pa) × 546 × (10−2 m)4 ≈ −0,00264 m

y(d) = F L348 E J = −6900 (N) × (3,5 m)348 × 206 × 109 (Pa) × 546 (10−2 m)4 ≈ −0,00548 m

Portanto,

y = y(c) + y(d) ≈ −0,00812 m

Comentários

Considerando um aço estrutural com limite de escoamento de 240 MPa, a tensão máxima de flexão calculada (117 MPa) resulta em um coeficiente de segurança perto de 2. Pode ser insuficiente em casos de choques, redução de seção devido à corrosão, existência de furos na viga, soldas e outros.

A deformação máxima representa 1/431 do comprimento total da viga. Para a aplicação, normas indicam uma deformação máxima de 1/360. Portanto, dentro do limite. Consultar normas técnicas para mais dados sobre segurança. Não verificado quanto às tensões de cisalhamento.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008