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Flexão X

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Tópicos: Exemplo de Cálculo da Linha Elástica | Viga em Balanço como Mola |


1) Exemplo de Cálculo da Linha Elástica

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Em página anterior, foi determinada a variação do momento de flexão para uma viga engastada em uma extremidade e submetida a uma força na outra:

$$M(x) = F_1(x_1 - x) \tag{1A}$$
Adaptando a igualdade para a Figura 1-I (F1 = F e x1 = L),

$$M(x) = F(L - x) \tag{1B}$$
Substituindo em (1L) da página anterior,

$${d^2 y \over dx^2} = {F(L- x) \over E\ J} \tag{1C}$$

Fig 1-I

A derivada de 1ª ordem é obtida pela integração:

$${d y \over dx} = \int {F(L- x) \over E\ J} dx = {F \over E\ J}\left(Lx - {x^2 \over 2}\right) + A \tag{1D}$$
Para continuar o processo, é preciso determinar a constante de integração A, o que se faz pela observação de condições em extremidades. Lembrando que dy/dx é a tangente trigonométrica do ângulo β, que a tangente geométrica à curva faz com a horizontal (eixo X). Pela geometria do arranjo, Figura 1-I (a),

tan β = dy/dx = 0 para x = 0. Substituindo na igualdade anterior, A = 0

Uma segunda integração conduz ao resultado:

$$y = \int {F \over E\ J}\left(Lx - {x^2 \over 2}\right) dx = {F \over E\ J} \left({Lx^2 \over 2} - {x^3 \over 6}\right) + B \tag{1E}$$
A constante de integração B pode ser determinada pela condição da extremidade engastada, de forma similar à anterior. Neste caso, y = 0 para x = 0 e, portanto, B = 0. E a equação da linha elástica fica:

$$y = {F \over E\ J} \left({Lx^2 \over 2} - {x^3 \over 6}\right) \tag{1F}$$

2) Viga em Balanço como Mola

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Desde que as deformações aqui tratadas pressupõem o trabalho apenas na região elástica do material, vigas flexionadas podem atuar como molas em alguns casos. Seja, por exemplo, a viga em balanço do tópico anterior.


Fig 2-I

Para considerar apenas o deslocamento da força aplicada na extremidade, considera-se x = L na igualdade (1F) do tópico anterior:

$$y = {F \over E\ J} \left({LL^2 \over 2} - {L^3 \over 6}\right) = {L^3 F \over 3\ E\ J} \tag{2A}$$
Isolando a força,

$$F(y) = {3\ E\ J \over L^3} y \tag{2B}$$
Para uma mesma viga, os valores E, J e L são constantes. Assim, essa igualdade é a característica de uma mola, ou seja, força proporcional ao deslocamento:

$$F(y) = ky\quad\text{onde}\quad k={3\ E\ J \over L^3} \tag{2C}$$
Diante das premissas adotadas, deve valer apenas para pequenos deslocamentos e o peso próprio da viga deve ser desprezível.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008