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Flexão IX

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Tópicos: Linha Elástica de Vigas Flexionadas |


1) Linha Elástica de Vigas Flexionadas

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Linha elástica é a curva formada pelo eixo da viga, inicialmente retilíneo, deformado devido à aplicação de momentos de flexão. A Figura 1-I é basicamente a mesma do tópico Fundamentos da Flexão Simples de página anterior. A distância de dS até LN (linha neutra) é agora simbolizada por u para não confundir com o eixo y.

A experiência demonstra que as seções transversais permanecem planas para pequenas flexões. Em (a) da Figura 1-I é suposto que a seção na direção do eixo Y se desviou de um comprimento dl e de um ângulo . Desde que a variação do ângulo é pequena (dβ), a distância b é dada por:

$$b = u\ d\beta \tag{1A}$$
Portanto, o alongamento ε em relação a dl é:

$$\epsilon = {b \over dl} = u {d\beta \over dl} \tag{1B}$$
Mas dβ/dl é a curvatura (ver página relacionada) K da linha. Assim,

$$\epsilon = u\ K \tag{1C}$$
Por definição o raio de curvatura r é o inverso da curvatura:

$$r = {1 \over K} \tag{1D}$$

Fig 1-I

Segundo a lei de Hooke (ver Tração & Compressão II), σ = ε E, onde E é o módulo de elasticidade do material. Substituindo o valor de ε anterior,

$$\sigma = u\ K\ E \tag{1E}$$
Da relação básica para a flexão (ver página relacionada), pode ser deduzido que σ = u M / J. Portanto, u K E = u M / J ou:

$$r = {1 \over K} = {E\ J \over M} \tag{1F}$$
Assim, o raio de curvatura da deformação é dado em função do material (módulo de elasticidade E), da geometria da viga (momento de inércia da seção J) e do momento de flexão M aplicado.

A Figura 1-II dá um exemplo de corte longitudinal de uma viga deformada, sem proporção visual dos elementos. O objetivo é obter uma fórmula mais aplicável, isto é, para as coordenadas (x,y) da curva e não para o seu raio de curvatura.


Fig 1-II

Das relações anteriores,

$${1 \over r} = K = {d\beta \over dl} \tag{1G}$$
Da Figura 1-II pode-se ver que tan β = dy/dx. Ou β = atan dy/dx. Das regras de diferenciação, d(atan u) = du / (1 + u2). Portanto,

$$d\beta = d \operatorname{atan} {dy \over dx} = {d\dfrac{dy}{dx} \over 1 +\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2}\quad\therefore\quad{d\beta \over dx} = \frac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{1 +\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \tag{1H}$$
Pode-se considerar,

$${d\beta \over dl} = {d\beta \over dx}{dx \over dl} \tag{1I}$$
Para o comprimento de uma curva, vale:

$${dl \over dx} = \left[1 + \left({dy \over dx}\right)^2 \right]^{1/2} \tag{1J}$$
Portanto,

$${d\beta \over dl} = \frac {\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 +\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right]\ \left[1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 \right]^{1/2}}=\frac {\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left[1 + \left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2 \right]^{3/2}} \tag{1K}$$
Para pequenas flexões, que é a situação considerada, o valor de (dy/dx)2 (= tan2 β) é pequeno em relação a 1 e pode ser desprezado. Portanto, dβ / dl = K ≈ (d2y/dx2) ≈ M / (E J), de acordo com (1F). E a linha elástica em coordenadas ortogonais é dada por:

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} \approx {M(x) \over E\ J} \tag{1L}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008