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Flexão VIII

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Tópicos: Energia da Deformação por Flexão Simples |


1) Energia da Deformação por Flexão Simples

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Seja, conforme Figura 1-I, uma viga submetida a um esforço de flexão simples, não necessariamente uniforme, cujo momento é dado por M(x). Considera-se um volume elementar, na posição genérica x, de espessura dx, isto é, o seu volume é dado por:

$$dV = S\ dx \tag{1A}$$
Onde S é a área da seção transversal.

Seja uma área elementar dS na face transversal desse volume. A tensão normal em dS, segundo relação básica já vista neste tópico para a flexão, é:

$$\sigma = {M(x)\ z \over J_y} \tag{1B}$$
E a força normal é o seu produto pela área:

$$F = \sigma\ dS = {M(x)\ z\ dS \over J_y} \tag{1C}$$

Fig 1-I

Considera-se agora a parte da barra de seção transversal dS e comprimento dx. Ela pode ser vista como uma barra sujeita a uma força F, de tração ou compressão, dependendo do sentido do momento e da posição acima ou abaixo da linha neutra. Pode-se usar a fórmula dada no tópico Energia da Deformação Elástica para a energia de deformação:

$$W={F^2 L \over 2ES} \tag{1D}$$
Adaptando a fórmula para este caso (W = dW, L = dx, S = dS), ocorre:

$$dW={F^2 dx \over 2E\ dS} \tag{1E}$$
Substituindo o valor de F dado em (1C),

$$dW={M^2(x)\ z^2\ dS\ dx \over 2E\ J^2_y} \tag{1F}$$
Fazendo a integração,

$$W(x) = \int_S dW = {M^2(x)\ dx \over 2E\ J^2_y} \int_S z^2 dS \tag{1G}$$
Mas a integral do lado direito é o Momento de Inércia Jy em relação à linha neutra. Portanto,

$$W(x) = {M^2(x)\ dx \over 2\ E\ J_y} \tag{1H}$$
Considerando o momento constante e integrando ao longo de um comprimento x = L, o resultado é:

$$W = {M^2 L \over 2\ E\ J_y} \tag{1I}$$
Nota-se a semelhança com as fórmulas para outros esforços, como tração ou compressão já vista:

$$W={F^2 L \over 2\ E\ S} \tag{1J}$$
Ou para cisalhamento:

$$W = {F^2 L \over 2\ G\ S} \tag{1K}$$
E também torção:

$$W = {T^2 L \over 2\ G\ J_p} \tag{1L}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008