Anotações & Informações | Índice | Fim pág | Voltar |


Flexão VII

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Distribuição de Tensões em Seção Retangular | Distribuição de Tensões em Seção Circular | Distribuição para Algumas Outras Seções |


1) Distribuição de Tensões em Seção Retangular

(Topo | Fim pág)

O arranjo da Figura 1-I (a) é similar ao do tópico anterior - Figura 1-II (b) - adaptado para uma barra de seção transversal retangular.

O momento estático da área da parte superior (que contém dS) em relação a Y (que coincide com a linha neutra da seção) é dado por:

$$M_y = \int_{z}^{h/2} u b du = (b/2) u^2 \Big\vert_z^{h/2} = {b h^2 \over 8}\left[1 - \left({2z \over h}\right)^2\right] \tag{1A}$$
O momento de inércia em relação a Y, conforme propriedade da seção retangular que pode ser vista nesta página, é:

$$J = {b h^3 \over 12} \tag{1B}$$

Fig 1-I

A tensão de cisalhamento é calculada segundo (1H) do mencionado tópico anterior, lembrando que, neste caso, y = b/2. Substituindo My e J dados em (1A) e (1B), obtém-se o resultado após simplificação (onde Fc é a força de cisalhamento na seção):

$$\tau_x = {3 \over 2} {F_c \over bh} \left[1 - \left({2z \over h}\right)^2\right] \tag{1C}$$
Essa expressão indica uma parábola. Nota-se que nos pontos extremos (z = h/2 e z = −h/2) o valor da tensão de cisalhamento é nulo. A Figura 1-I (b) dá uma representação aproximada. Neste caso, não cabe a verificação da tensão na borda conforme mencionado na página anterior porque a tangente é vertical (ϕ = 0, portanto, cos ϕ = 1). O valor máximo ocorre para z = 0:

$$\tau_{x\ max} = {3 \over 2}{F_c \over bh} \tag{1D}$$
Desde que bh é a área da seção, Fc / bh é a tensão média de cisalhamento. Assim, pode-se dizer que, para a seção retangular, vale:

$$\tau_{max} = {3 \over 2}\tau_{med} \tag{1E}$$

2) Distribuição de Tensões em Seção Circular

(Topo | Fim pág)

Para determinar o momento estático da superfície superior (que contém dS), deve-se lembrar que dS = 2r cos α du. Assim,

$$M_y = \int_{u=z}^{u=r} 2 r \cos \alpha\ u du \tag{2A}$$
Considerando que u = r sin α e, portanto, du = r cos α dα, os valores em termos de α são (lembrando que para u = z, α = ϕ e para u = r, α = π/2):

$$M_y = 2r^3\int_{\alpha=\phi}^{\alpha=\pi/2} \cos^2\alpha\ \sin^2\alpha\ d\alpha = {2r^3\over 3} \cos^3 \phi \tag{2B}$$
Conforme propriedade da seção circular (ver nesta página), o momento de inércia em relação a Y é:

$$J = {\pi D^4 \over 64} = {\pi r^4 \over 4} \tag{2C}$$

Fig 2-I

A tensão de cisalhamento é dada por (1H) deste tópico. Substituindo, nessa igualdade, os valores de My e J conforme (2B) e (2C), considerando que sin ϕ = z/r e também sen2ϕ + cos2ϕ = 1, obtém-se o resultado após simplificação:

$$\tau_x = {4F_c \over 3\pi r^2}\left[1-\left({z\over r}\right)^2\right] \tag{2D}$$
A tensão na borda é calculada por (1J) do mesmo tópico:

$$\tau_B = {\tau_x \over \cos \phi} = {4F_c \over 3\pi r^2}\left[1-\left({z\over r}\right)^2\right]^{1/2} \tag{2E}$$
A primeira curva (τx) é uma parábola e a segunda (τB), uma elipse. Representação na Figura 2-I (b). Desde que z ≤ r, o valor máximo ocorre em z = 0 e é o mesmo para ambas as igualdades:

$$\tau_{max} = {4F_c \over 3\pi r^2} \tag{2F}$$
Desde que π r2 é a área da seção, Fc / (π r2), relação entre força de cisalhamento e área, é a tensão média de cisalhamento. Portanto, para a seção circular:

$$\tau_{max} = {4 \over 3}\tau_{med} \tag{2G}$$

3) Distribuição para Algumas Outras Seções

(Topo | Fim pág)

Omitindo o desenvolvimento dos cálculos, para tubos de parede fina, vale aproximadamente:

$$\tau_{max} \approx {2 F_c \over S} \tag{3A}$$
Onde Fc é a força de cisalhamento e S é a área da seção transversal.


Fig 3-I

Para perfis comuns tipo Z, U, H:

$$\tau_{max} \approx {F_c \over t\ h} \tag{3B}$$
A curva do lado direito da Figura 3-I dá ideia da distribuição aproximada.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008