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Flexão VI

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Tópicos: Distribuição de Tensões Transversais na Flexão |


1) Distribuição de Tensões Transversais na Flexão

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As tensões de cisalhamento associadas à flexão não se distribuem de maneira uniforme pela seção transversal da barra. Isso não invalida os cálculos dos tópicos anteriores, mas eles devem ser considerados médios e, portanto, podem existir valores localizados significativamente acima da média.

A Figura 1-I representa uma barra supostamente sob ação de flexão no plano XZ. Supõe-se agora um pequeno trecho de largura Δx conforme indicado. Este último, por sua vez, é cortado por um plano Pz, paralelo ao plano XY e situado a uma altura z do eixo X.


Fig 1-I

A Figura 1-II representa em (a) o corte do plano XZ e, em (b), o corte de um plano paralelo a YZ. O eixo Y coincide com a linha neutra da seção transversal. Conforme (a), o lado esquerdo do trecho é nomeado 1 e o direito, 2. Considerando somente a parte acima da linha neutra, as tensões normais σ1 e σ2 variam linearmente de zero até um valor máximo na extremidade superior. Conforme visto em página anterior, o valor máximo é M e / J, onde J é o momento de inércia da seção Syz em relação a Y. Portanto, para um valor qualquer de z = u,

$$\sigma_1(u) = {M u \over J} \tag{1A}$$
Para a face direita, o momento é M + ΔM. Portanto,

$$\sigma_2(u) = {(M + \Delta M) u \over J} \tag{1B}$$
Em (a) da Figura 1-II, σx é a tensão de cisalhamento na superfície do plano Pz (Figura 1-I) entre as duas seções separadas de Δx. Portanto, essa superfície tem dimensões Δx e 2 y, como pode ser visto em (a) e (b) da Figura 1-II. E, para manter o equilíbrio estático, as forças correspondentes a τx, as tensões σ1(u) e σ2(u) devem se anular:

$$-\tau_x\ \Delta x\ 2y - \int \sigma_1 dS + \int \sigma_2 dS = 0\\\therefore -\tau_x\ \Delta x\ 2y = \int (\sigma_2 - \sigma_1)dS \tag{1C}$$

Fig 1-II

De (1A) e (1B),

$$(\sigma_2 - \sigma_1) = {\Delta M u \over J} \tag{1D}$$
Substituindo em (1C) e reagrupando,

$$\tau_x = {\Delta M \over \Delta x} {1 \over 2y\ J} \int u dS \tag{1E}$$
Na situação limite, a primeira expressão à direita é a força de cisalhamento Fc segundo tópico anterior:

$$\lim {\Delta M \over \Delta x} = {dM \over dx} = -F_c \tag{1F}$$
Desde que se considera a superfície Syz em (b) da Figura 1-II, a integração de (1E) vai de u = z até u = e. Assim, a última parcela à direita de (1E) é momento estático MY de Syz em relação ao eixo Y:

$$M_y = \int_{u=z}^{u=e} u dS \tag{1G}$$
Desprezando sinais para considerar apenas módulos e substituindo (1F) e (1G) em (1E),

$$\tau_x = {F_c M_y \over 2\ J \ y} \tag{1H}$$
Desde que tensões de cisalhamento aparecem sempre aos pares, deve-se ter:

$$\tau_z = \tau_x \tag{1I}$$
Demonstra-se também que tensões nas bordas estão na direção de suas tangentes. Exemplo: ponto B de (b) da Figura 1-II. E são ainda maiores para um dado z, valendo:

$$\tau_B = {\tau_x \over \cos \phi} \tag{1J}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008