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Flexão V

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Tópicos: Viga Apoiada com Momento Concentrado | Aspectos Teóricos sobre Carregamentos de Vigas |


1) Viga Apoiada com Momento Concentrado

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Um esforço de torção também pode ser visto como um carregamento. No exemplo na Figura 01 (a), a posição do apoio esquerdo foi invertida para proporcionar a correta reação. De ∑ Fy = 0, tem-se F0 + F2 = 0. Portanto,

$$F_2 = - F_0 \tag{1A}$$
Em relação ao ponto 2, para os momentos: Σ M = M1 + (0 − x2) F0 = 0. Substituindo F0 e reagrupando,

$$F_0 = {M_1 \over x_2} \tag{1B}$$
Para uma porção de comprimento x, Σ Fy = F0 + Fc = 0. Substituindo e reagrupando,

$$F_c = - {M_1 \over x_2} \tag{1C}$$

Fig 1-I

Para os momentos em relação ao ponto 0, Σ M = Fc x + M(x) = 0 se x < x1. Para x ≥ x1, deve-se somar o momento externo: Σ M = Fc x + M(x) + M1 = 0. Substituindo Fc e reagrupando,

$$M(x) = \begin{cases}M_1 \dfrac{x}{x_2}&0\le x < x_1\\[8pt]M_1(\dfrac{x}{x_2} - 1)& x_1 \le x \le x_2\end{cases} \tag{1D}$$
Gráficos para −Fc e −M(x) conforme (c) e (d) da figura.


2) Aspectos Teóricos sobre Carregamentos de Vigas

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A Figura 2-I mostra uma viga sob ação de um carregamento distribuído genérico, isto é, não necessariamente uniforme, dado pela função q(x). As forças A e B são as reações dos apoios. Desde q(x) é a força por unidade de comprimento, pode-se concluir que, em uma área infinitesimal de posição u e largura du, a força atuante é q(u) du, correspondente à área da porção de superfície da figura.

Em um determinado ponto x, a soma do esforço de cisalhamento Fc com as forças atuantes à esquerda deve ser nula, para preservar o equilíbrio estático. Assim, pode-se escrever:

$$F_c(x) = -\int_{u=0}^{u=x} q(u) du - A \tag{2A}$$
Essa igualdade pode ser considerada decorrente da definição (a força A pode ser vista como a constante de integração):

$${dF_c(x)\over dx} = -q(x) \tag{2B}$$

Fig 2-I

Aplicando agora ΣM = 0 a um ponto qualquer de coordenada x, correspondente a uma porção de comprimento x,

$$M(x) = -\int_{u=0}^{u=x} (u-x) q(u) du - A (0-x) \tag{2C}$$
Para diferenciar M(x) em relação a x, deve-se usar a regra geral para diferenciação de integrais:

$${d \int f(x,t) dt \over dx} = \int {\partial f(x,t) \over \partial x} dt \tag{2D}$$
Aplicando à igualdade anterior (2C),

$${dM(x) \over dx} = \int_{u=0}^{u=x}q(u)du + A \tag{2E}$$
Considerando (2A) e lembrando que a constante de integração pode ser qualquer,

$${dM(x) \over dx} = -F_c(x) \tag{2F}$$
Esse resultado estabelece uma relação matemática entre o momento de flexão e o esforço de cisalhamento. Se a derivada de uma função é nula, ela está em um ponto de valor máximo ou mínimo. Isso pode ser observado nos diagramas das tópicos anteriores, inclusive para alguns casos de forças discretas de carregamento.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008