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Flexão III

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Tópicos: Viga Apoiada com Várias Cargas Concentradas | Viga Apoiada com Carga Uniformemente Distribuída |


1) Viga Apoiada com Várias Cargas Concentradas

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A Figura 1-I (a) dá um exemplo para três forças (F1 F2 F3), supostamente conhecidas, bem como os respectivos pontos de aplicação (x1 x3 x3) e o comprimento total x4. As forças F0 F4 são as reações dos apoios.

Da condição de equilíbrio ∑ Fy = 0, ocorre F0 + F4 + F1 + F2 + F3 = 0. Da condição ∑ M = 0 (em relação a 0 por exemplo), F4x4 + F1x1 + F2x2 + F3x3 = 0. Portanto, F0 e F4 são formulados em função de parâmetros conhecidos:

$$F_4 = -{F_1x_1+F_2x_2+F_3x_3\over x_4}\\F_0 = -(F_1+F_2+F_3+F_4) \tag{1A}$$
Em (b) da figura, uma parte da viga, de comprimento menor que x1. Pela condição de equilíbrio dada pela soma das forças verticais igual a zero, o cisalhamento é igual à reação do apoio esquerdo, isto é, Fc + F0 = 0. E, em cada ponto de aplicação de uma força externa, esse valor reduzido pelo valor dessa força. Assim,

$$F_c = \begin{cases}-F_0&0\le x< x_1\\-F_0-F_1&x_1 < x < x_2\\-F_0-F_1-F_2&x_2 < x < x_3\\-F_0-F_1-F_2-F_3&x_3 < x \le x_4\end{cases} \tag{1B}$$
O sentido do cisalhamento começa positivo, de acordo com critérios já vistos. Gráfico de −Fc conforme (c) da figura.


Fig 1-I

Para os momentos de flexão, entre 0 e 1, ocorre M + F0 x = 0. Assim, M = −F0 x. Para o trecho entre 1 e 2, M + F0 x + F1 (x − x1) = 0. De forma análoga, obtém-se as demais relações:

$$M = \begin{cases}-F_0 x&0\le x< x_1\\-F_0 x-F_1(x - x_1)&x_1 < x < x_2)\\-F_0 x-F_1(x - x_1)-F_2(x - x_2)&x_2 < x < x_3)\\-F_0 x-F_1(x - x_1)-F_2(x - x_2)-F_3(x - x_3)&x_3 < x \le x_4)\end{cases} \tag{1C}$$
Nessa igualdade, para x = x4, tem-se M = −(F0 + F1 + F2 + F3) x4 + F1 x1 + F2 x2 + F3 x3. Conforme (1A), F1 + F2 + F3 = − F0 − F4. Portanto, M = F1 x1 + F2 x2 + F3 x3 + F4 x4 = Σ Fi xi = Σ Mi = 0 (condição de equilíbrio estático). Gráfico conforme (d) da figura.


2) Viga Apoiada com Carga Uniformemente Distribuída

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Considerando uma posição inicial x = 0 conforme Figura 2-I (a), uma carga distribuída sobre a viga pode ser vista como uma função q(x), indicativa da força por unidade de comprimento. Assim, para uma porção elementar, a força é dada por:

$$F(x) = q(x) dx \tag{2A}$$
Se ela é uniformemente distribuída, q(x) = q = constante. E a força atuante até a posição x é dada pela integração:

$$F(x) = \int_0^x qdx = qx \tag{2B}$$
A simetria do caso permite concluir que o ponto de aplicação da resultante das forças elementares é o ponto médio:

$$d(x) = {x \over 2} \tag{2C}$$

Fig 2-I

A condição de equilíbrio ∑ Fy = 0 e a simetria permitem deduzir as reações dos apoios:

$$F_0 = F_1 = -{q x_1 \over 2} \tag{2D}$$
Numa parte genérica de comprimento x conforme (b) da figura, a condição ∑ Fy = 0 determina o cisalhamento:

$$F_c(x) = -F_0 - qx = {q x_1 \over 2} - qx \tag{2E}$$
Gráfico de −Fc(x) conforme (c) da figura.

Para os momentos, considerando ∑ M(x) = 0, tem-se:

$$M(x) + (0 - x) F_0 + ({x \over 2}- x) F(x) = 0 \tag{2F}$$
Substituindo conforme relações anteriores e reagrupando,

$$M(x) = -{q x_1 \over 2} x + {q \over 2} x^2 \tag{2G}$$
Essa é a equação de uma parábola e, por substituição, pode ser visto que tem valores nulos nos extremos. Gráfico conforme (d) da figura. A simetria também permite concluir que o valor máximo está no centro, mas pode ser determinado pela derivada nula:

$${dM(x) \over dx} = -{q x_1 \over 2} + {q \over 2} 2 x = 0\\x = {x_1 \over 2} \tag{2H}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008