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Flexão II

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Tópicos: Forças e Momentos Internos em Vigas | Diagramas de Esforços em Vigas |


1) Forças e Momentos Internos em Vigas

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Vigas horizontais carregadas são elementos comuns na prática e o dimensionamento exige a determinação das tensões internas em função da(s) carga(s) aplicada(s). Seja, conforme Figura 1-I (a), um carregamento genérico F(x) ao longo do comprimento. A simples dedução lógica permite concluir que essa viga está internamente submetida a esforços de cisalhamento e flexão.

Considerando um corte transversal hipotético em um local qualquer A, é possível separar os esforços distintos: cisalhamento conforme (b) da figura e momento de flexão conforme (c) da mesma figura.


Fig 1-I

Algumas referências usam os termos esforço cortante para o cisalhamento e momento fletor para o momento de flexão. Também pode ser encontrada a expressão força transversal para o cisalhamento.

Em geral adotam-se as convenções de sinais como em (b) e (c), isto é, cisalhamento positivo tende a girar cada parte no sentido horário e momento positivo tende a tracionar a parte inferior e comprimir a parte superior da viga (obs: os sinais de cisalhamento e momento da figura não têm relação com o carregamento indicado).


2) Diagramas de Esforços em Vigas

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A Figura 2-I (a) dá exemplo de um dos carregamentos mais simples: uma viga apoiada em dois cutelos com uma única carga vertical F1. O apoio sobre cutelos garante que não há momentos nas extremidades e que não há forças longitudinais se o carregamento é vertical, pois o cutelo direito está sobre rolos. Considerando a origem das coordenadas x = 0, um problema típico consiste em determinar os esforços ao longo da viga conhecidos os valores de F1, o seu ponto de aplicação x1 e o comprimento da viga x2.

O esquema das forças atuantes na viga é dado em (b) da figura. F0 e F2 são as reações dos apoios. Nota-se que é uma situação estaticamente determinada, isto é, todas as forças podem ser calculadas pela aplicação das condições de equilíbrio estático (soma das forças nulas e também dos momentos).

De ∑ Fy = 0, ocorre F1 = − F0 − F2. De ∑ M = 0 (em relação ao ponto 0 por exemplo), F1 x1 = − F2 x2. A condição ∑ Fx = 0 não se aplica por não existir força nesse sentido. Portanto,

$$F_2 = - F_1 {x_1 \over x_2}\\F_0 = -F_1-F_2 = - F_1 {x_2 - x_1 \over x_2} \tag{2A}$$

Fig 2-I

Considera-se agora um trecho genérico de 0 a um ponto x, à esquerda de 1, conforme (c) da figura. Aplicando a condição de equilíbrio ∑ Fy = 0, tem-se Fc + F0 = 0. Do ponto 1 ao ponto 2, vale Fc + F0 + F1 = 0. Portanto,

$$F_c = \begin{cases}-F_0&0 \le x < x_1\\-F_0-F_1 = F_2&x_1 < x\le x_2\end{cases} \tag{2B}$$
Gráfico de −Fc conforme (d) da figura.

Novamente se considera o ponto x à esquerda do ponto 1 conforme figura. Aplicando a condição ∑ M = 0 em relação a x, M + (0 − x) F0 = 0

Entre os pontos 1 e 2, M + (0 − x) F0 + (x1 − x) F1 = 0

Substituindo os valores de F0 e F1 conforme (2A),

Entre 0 e 1: M = F1 (x2 − x1) x / x2

Entre 1 e 2: M = x F0 + (x − x1) F1 = x F0 + x F1 − x1 F1 = x (F1 + F0) − x1 F1. Mas, conforme (2A), F1 + F0 = −F2. Substituindo e reagrupando, chega-se ao resumo seguinte:

$$M = \begin{cases}-F_1\dfrac{(x_2-x_1)x}{x_2}&0\le x\le x_1\\-F_1 x_1\left(1-\dfrac{x}{x_2}\right)&x_1 \le x \le x_2\end{cases} \tag{2C}$$
Gráfico conforme (e) da Figura 2-I. O momento máximo é dado com x = x1 em uma das relações acima:

$$M_{max} = -F_1 {(x_2 - x_1) x_1 \over x_2} \tag{2D}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008