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Flexão I

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1) Fundamentos

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Na Figura 1-I (a), uma barra de seção transversal retangular sofre esforços de flexão por forças atuantes em um plano que passa por um dos eixos centrais de inércia da seção. Essa situação é denominada flexão simples. Se o plano não passa por um eixo central, como em (b) da mesma figura, ocorre a flexão oblíqua.

A flexão simples acontece (ou assim pode ser considerada) em muitos casos práticos e é a de formulação mais fácil. Por isso, ela será o objeto principal desta página.


Fig 1-I

A Figura 1-II (a) representa uma pequena parte da vista lateral de uma barra de seção transversal genérica conforme (b), submetida à flexão provocada por um momento M. A geometria da deformação sugere que uma parte (a superior neste caso) da seção transversal está sob esforços normais de compressão e outra parte (inferior), de tração. A linha que divide essas duas partes é denominada linha neutra (LN) porque as tensões ao longo dela são nulas.

Também pode ser constatado experimentalmente que as tensões em pontos de linhas paralelas à neutra são iguais e variam linearmente com a distância vertical y. Assim, no gráfico da Figura 1-II (c), as tensões variam de um máximo de compressão σ1 na extremidade superior da seção transversal (distância e1 da linha neutra) até um máximo de tração σ2 na extremidade inferior (distância e2 da linha neutra). Com a linearidade mencionada, a tensão σ em um ponto situado a uma distância genérica y da linha neutra pode ser dada por:

$$\sigma = {\sigma_1\over e_1} y \tag{1A}$$
Aplicando a primeira condição de equilíbrio estático (∑ Fx = 0), tem-se:

$$\int F_x = \int \sigma dS = \int {\sigma_1 \over e_1} y dS = {\sigma_1 \over e_1} \int y dS = 0 \tag{1B}$$
O termo $\int y dS$ é o momento estático da superfície em relação a LN. Se há flexão, σ1/e1 não é nulo e, assim, o momento estático deve ser zero. Conclui-se então que a linha neutra passa pelo centro de gravidade da seção transversal.

Por enquanto, não será considerada a segunda condição de equilíbrio estático (∑ Fy = 0), uma vez que isso implica a existência de tensões de cisalhamento, que realmente ocorrem e serão vistas posteriormente.


Fig 1-II

Para a terceira condição de equilíbrio (∑ Mi = 0), deve-se ter a soma dos momentos internos igual ao momento M aplicado externamente:

$$M = \int y \sigma dS = \int y {\sigma_1 \over e_1} y dS = {\sigma_1 \over e_1} \int y^2 dS \tag{1C}$$
Mas o fator $\int y^2 dS$ é o momento de inércia J em relação à linha neutra. Portanto,

$${\sigma_1 J \over e_1} = M \tag{1D}$$
Para a distância e2, a tensão é σ2. Formam-se, portanto, as equações básicas da flexão simples:

$$\sigma_1 = {M e_1 \over J}\\\sigma_2 = {M e_2 \over J} \tag{1E}$$
Ou seja, as tensões máximas de tração e compressão estão localizadas nas extremidades da seção transversal e são dadas em função do momento de flexão aplicado, das distâncias dessas extremidades em relação à linha neutra e do momento de inércia em relação à mesma linha. Nota-se que, no caso da Figura 1-II, σ1 é compressão e σ2, tração. Mas será o contrário se o momento externo for invertido.

Considerando a definição de momento ou módulo de resistência W, as igualdades anteriores podem ser escritas da forma:

$$\sigma_1 = {M \over W_1}\quad\text{onde}\quad W_1 = {J \over e_1}\\\sigma_2 = {M \over W_2}\quad\text{onde}\quad W_2 = {J \over e_2} \tag{1F}$$
O dimensionamento é feito pela comparação com as tensões admissíveis:

$$\sigma_1 \le \sigma_{1adm}\\\sigma_2 \le \sigma_{2adm} \tag{1G}$$
Onde σ1adm e σ2adm são as tensões admissíveis para tração e compressão ou vice-versa conforme já comentado.

Se a seção transversal é simétrica em relação à linha neutra (LN), e1 = e2 = e. Por consequência, W1 = W1 = W. E as igualdades anteriores ficam reduzidas a uma:

$$\sigma = \sigma_1 = \sigma_2 = {M \over W} \tag{1H}$$
Nesse caso, a tensão máxima de tração é igual à máxima de compressão.

Das relações acima, conclui-se que o conhecimento do momento de inércia e/ou módulos de resistência da seção transversal é fundamental no cálculo da flexão. Fórmulas para as geometrias mais comuns são dadas nesta página.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008