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Flambagem II

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Tópicos: Comprimento de Flambagem | Coeficiente de Esbeltez |


1) Comprimento de Flambagem

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Na Figura 1-I, as retas tracejadas verticais indicam a barra no estado inicial e as curvas contínuas indicam aproximações das deformações por flambagem.

O desenvolvimento matemático do tópico anterior (equação básica da flambagem elástica) pressupõe que as extremidades da barra são articuladas e só podem se mover na direção do eixo. Essa é a situação padrão, indicada em (d).


Fig 1-I

Para outras fixações, como (a), (b), (c), (e) e (f) da mesma figura, usam-se comprimentos de flambagem específicos. A tabela abaixo dá valores teóricos e práticos para cada situação.

Tipo (a) (b) (c) (d) (e) (f)
Lfl teórico 0,50 L 0,7 L 1,0 L 1,0 L 2,0 L 2,0 L
Lfl prático 0,65 L 0,8 L 1,2 L 1,0 L 2,1 L 2,0 L

Desde que os cálculos são baseados na força de Euler conforme página anterior, fixações diferentes de (d) devem ter seus comprimentos convertidos. Exemplo: uma coluna de 3 metros de altura está fixada como em (f) da figura. Então, ela é equivalente a uma coluna do tipo padrão (d), com comprimento 2,0 × 3 = 6 metros.

É importante lembrar que, em casos práticos (estruturas, máquinas), extremidades de colunas ou de barras comprimidas podem ter liberdade de movimento em determinadas direções e não ter em outras. Portanto, todas as hipóteses devem ser analisadas, dimensionando-se pela mais desfavorável.


2) Coeficiente de Esbeltez

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Considerando-se o conceito de comprimento de flambagem, pode-se reescrever a igualdade da força de flambagem de Euler K, dado em (2D) do tópico Equação Básica da Flambagem Elástica:

$$K = {\pi^2 E J \over L_{fl}^2} \tag{2A}$$
Se se deseja a tensão limite, os valores são divididos pela área da seção S:

$$\sigma_{fl} = {K \over S} = {\pi^2 E J \over S L_{fl}^2} = {\pi^2 E \over \lambda^2}\\\text{Onde } \lambda = {L_{fl} \over \sqrt{J / S}} \tag{2B}$$
O termo λ é denominado coeficiente de esbeltez da barra. Considerando que a expressão $\sqrt{J/S}$ é o raio de giração R da seção, pode-se escrever:

$$\lambda = {L_{fl} \over R} \tag{2C}$$

Fig 2-I

Essas fórmulas mostram que a tensão de flambagem depende apenas do módulo de elasticidade E (característica do material) e do coeficiente de esbeltez λ (característica geométrica da barra). Para um mesmo material, E é constante e pode-se ter a tensão em função de λ. Por exemplo: para o aço, E = 206 GPa. Assim,

$$\sigma_{fl} (\text{em MPa}) = {\pi^2 \times 206 \times 10^3 \over \lambda^2} \tag{2D}$$
Essa curva está representada na Figura 01. É denominada hipérbole de Euler para o material (aço, no caso). Nota-se, entretanto, que a curva é limitada pela região de proporcionalidade (elástica) do material (hipótese assumida no desenvolvimento da equação básica).

Nesse caso do aço, para a tensão limite de proporcionalidade, σp = 226 MPa, há o coeficiente de esbeltez correspondente, λp ≈ 96. Esses valores estão indicados na figura. Para coeficientes de esbeltez menores, a fórmula não é válida, pois não há mais proporcionalidade entre tensão e deformação e/ou há deformações residuais decorrentes da plasticidade.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008