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Flambagem I

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Tópicos: Introdução - Falha por Flambagem | Equação Básica da Flambagem Elástica |


1) Introdução - Falha por Flambagem

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Alguns tipos de esforços tendem a provocar instabilidades físicas nos elementos que os suportam. A Figura 1-I (a) indica uma barra reta, sem esforços externos atuantes. Na realidade, uma reta geométrica não existe na prática e pode-se considerar a barra ligeiramente curva, conforme representação, de forma exagerada, em (b) da mesma figura. Se um esforço de tração é aplicado como em (c), a tendência é uma redução da curvatura, ou seja, uma aproximação com a reta ideal e, com o aumento da força, a falha ocorre devido ao escoamento (plastificação) ou à ruptura do material.

Se a barra é comprimida como em (d) da figura, as forças atuantes tendem a aumentar a curvatura original. Isso não significa que qualquer valor da força de compressão provoca esse aumento. A prática e a teoria demonstram que existe um limite acima do qual a essa falha, denominada flambagem, ocorre. Esse limite depende do material e das características geométricas da barra.


Fig 1-I

Em outros termos, pode-se dizer que a flambagem de uma barra comprimida é a sua perda de estabilidade pela aplicação de um esforço de compressão acima de um valor crítico. Essa instabilidade ocorre devido a pequenas curvaturas conforme acima e também a outros desvios, como assimetrias, excentricidades, desalinhamentos, etc. É facilmente perceptível que a flambagem fica mais crítica com o aumento da esbeltez da barra, isto é, o aumento do seu comprimento em relação à área da seção transversal. Em muitos casos as tensões que provocam a flambagem são inferiores às tensões máximas de compressão dos materiais. Assim, a sua análise é importante no caso de elementos esbeltos de máquinas e de estruturas. Para estas últimas, colunas são em geral as partes mais susceptíveis à flambagem.


2) Equação Básica da Flambagem Elástica

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Conforme Figura 2-I, uma barra de seção transversal constante está sob flambagem provocada por um esforço de compressão F. Supõe-se que as tensões estão dentro do limite de elasticidade do material. Se a barra é seccionada em um ponto genérico P(x,y), o momento atuante nesse ponto é M = F y. Conforme visto em página anterior, a equação diferencial da linha elástica para uma barra sob ação de um momento é:

d2ydx2 = ME J. Substituindo o valor de M,

$${d^2y \over dx^2} = a^2 y\quad\text{onde } a = \sqrt{F \over E\ J} \tag{2A}$$
Omitindo o desenvolvimento, a solução dessa equação diferencial é:

$$y = A \cos ax + B \sin ax \tag{2B}$$
As constantes da solução (A e B, neste caso) devem ser obtidas a partir de condições de contorno. Para x = 0, tem-se y = 0. Assim, A = 0. Para x igual à corda OA (= M), y = 0. Portanto, B sin (a M) = 0. Para essa igualdade, conclui-se que B não pode ser nulo porque A já é nulo.


Fig 2-I

Assim, deve-se ter sin (a M) = 0. Portanto, a M = π ou, dividindo, a M / 2 = π / 2. Para x = M/2, y é a flecha máxima f. Ou y = f = B sin (a M / 2). Mas visto que (a M / 2) = π / 2. Portanto, B = f e o resultado fica:

$$y = f \sin ax\quad\text{onde } a = \sqrt{F \over E\ J} \tag{2C}$$
Mas a solução ainda está incompleta, pois a flecha f não é previamente conhecida. A dimensão geométrica normalmente conhecida é o comprimento da barra L. Para pequenas deformações pode-se usar a aproximação L/2 ≈ OB (ou AB). E, do triângulo retângulo OBC,

f2 = OB2 + (M/2)2 ≈ (L/2)2 + (M/2)2. Já visto que (a M / 2) = π/2 e também que a = √[F / (E J) ]. Portanto, (M/2)2 = π2 E J / (4 F). Substituindo, f2 ≈ L2/4 − π2 E J / (4 F). Rearranjando a igualdade, f/L ≈ (1/2) √ [1 − π2 E J / (F L2)]. Essa pode ser reescrita para:

$${f \over L} \approx \tfrac{1}{2}\sqrt{1 -{K \over F}}\\\text{Onde } K = {\pi^2 E\ J \over L^2} \tag{2D}$$
O fator K, que tem a dimensão de força, é denominado força de flambagem de Euler. E pode-se comparar com a forca aplicada F:

• se $F \le K$, o valor de ${f \over L}$ é nulo ou imaginário, isto é, não há flambagem.

• se $F > K$, o valor de ${f \over L}$ é real, significando que a flambagem ocorre.

Portanto, K representa o limite para a flambagem elástica de uma barra comprimida.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008