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Esforços Compostos II

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Tópicos: Torção com Flexão |


1) Torção com Flexão

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Seja, conforme Figura 01, uma barra de seção circular, fixa em uma extremidade e, na outra, submetida a um torque T e uma força vertical F. É uma situação típica de um eixo.

Em um ponto A, na parte superior e distante a da origem, deve haver, de forma genérica, as tensões normais σx e σy e as tensões transversais τxy = τyx. Conforme relações já vistas para o estado duplo de tensões, os valores máximos (uma das tensões principais) são:

$$\sigma_{max} = \sigma_1 = \tfrac{1}{2}(\sigma_x+\sigma_y) + \tfrac{1}{2}\sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2}\\\tau_{max} = \tfrac{1}{2} \sqrt{(\sigma_x-\sigma_y)^2 + 4\tau_{xy}^2} \tag{1A}$$
Em A, ocorre tensão normal apenas ao longo de X, devido à flexão da força F. E há apenas a tensão transversal devido à torção. Assim,

$$\sigma = \sigma_x\\\sigma_y = 0\\\tau = \tau_{xy} \tag{1B}$$

Fig 1-I

Substituindo nas relações anteriores,

$$\sigma_{max} = \tfrac{1}{2}\sigma + \tfrac{1}{2}\sqrt{\sigma^2+4\tau^2}\\\tau_{max} = \tfrac{1}{2}\sqrt{\sigma^2+4\tau^2} \tag{1C}$$
O módulo de resistência W para seção circular é:

$$W = {\pi\ D^3 \over 32} \tag{1D}$$
O momento fletor no ponto A é:

$$M = F (L - a) \tag{1E}$$
Portanto,

$$\sigma = {M \over W} = {32\ M \over \pi D^3} \tag{1F}$$
O Momento Polar de Resistência para a seção circular é:

$$W_p = {\pi D^3 \over 16} \tag{1G}$$
Portanto,

$$\tau = {T \over W_p } = {16\ T \over \pi D^3} \tag{1H}$$
Substituindo σ e τ em (1C),

$$\sigma_{max} = {16 \over \pi D^3}\left(M+\sqrt{M^2+T^2}\right)\\\tau_{max} = {16 \over \pi D^3}\sqrt{M^2+T^2} \tag{1I}$$
Essas são as tensões principais máximas em um ponto genérico A na parte superior conforme figura. O ângulo ϕ da tensão normal principal, segundo (1A) de Tensões Principais no Plano, é dado por:

$$\tan 2\phi = {2 \tau_{xy}\over \sigma_x - \sigma_y} \tag{1J}$$
Substituindo os valores e simplificando,

$$\tan 2\phi = {T \over M} \tag{1K}$$
Para o ponto lateral B da figura, não há ação da flexão porque ele está na linha neutra. Assim, σx = σy = 0, significando 2ϕ = 90°. O eixo da tensão principal está inclinado de 45° em relação a X.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell, DeWolf John T. Mechanics of Materials. New York, McGraw-Hill, 2002
Beer, Ferdinand P. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Ago/2008