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Tensores - Algumas Notas VII

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Tópicos: Contração Simples | Contração Dupla |


1) Contração Simples

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Do tópico Componentes do Tensor de Segunda Ordem, pode-se representar o tensor pela soma dos componentes. Em notação de índices,

$$\mathcal T = T_{ij}(\hat e_i \otimes \hat e_j) \tag{1A}$$
A repetição dos índices i e j (1≤i≤3 e 1≤j≤3) indica a soma, sem necessidade de símbolo próprio (Σ). E um vetor genérico pode ser indicado de forma similar:

$$\vec a = a_k \hat e_k \tag{1B}$$
É usado k como índice para indicar independência da relação anterior. Assim, a operação do tensor ao vetor é dada por:

$$\mathcal T\vec a = T_{ij}(\hat e_i \otimes \hat e_j) a_k \hat e_k = T_{ij} a_k (\hat e_i \otimes \hat e_j) \hat e_k \tag{1C}$$
Conforme pode ser visto neste tópico, o último termo é a aplicação de um díade a um vetor, que é dada por um vetor na direção do primeiro, com magnitude igual ao produto escalar do segundo pelo terceiro. Desde que são vetores de base (unitários e ortogonais), o produto escalar é unitário se os índices j e k são iguais e nulo caso contrário.

Seja a notação do delta de Kronecker:

$$\delta_{ij} = \begin{cases}1&i = j\\0&i \ne j\end{cases} \tag{1D}$$
Então, a relação (1C) pode ser escrita:

$$\mathcal T\vec a = T_{ij} a_k \delta_{jk} \hat e_i \tag{1E}$$
Nessa relação, os termos são diferentes de zero se k = j. Portanto,

$$\mathcal T\vec a = T_{ij}\ a_j\ \hat e_i \tag{1F}$$
Considerando que vetor é um tensor de primeira ordem, a soma das ordens (2 + 1) é reduzida de 2 com a operação, razão do nome adotado.


A operação de um tensor pode ser aplicada a outro da mesma ordem. Exemplo com segunda ordem:

$$\mathcal T \mathcal S = T_{ij}(\hat e_i \otimes \hat e_j) S_{pq} (\hat e_p \otimes \hat e_q) = T_{ij} S_{pq} (\hat e_i \otimes \hat e_j) (\hat e_p \otimes \hat e_q) = T_{ij} S_{pq} (\hat e_j \cdot \hat e_p) (\hat e_i \otimes \hat e_q) \tag{1G}$$
A simplificação acima foi obtida com (2H) do tópico Díade (produto tensorial). Usando os conceitos anteriores,

$$\mathcal T \mathcal S = T_{ij} S_{pq} \delta_{jp} (\hat e_i \otimes \hat e_q) = T_{ij} S_{jq} (\hat e_i \otimes \hat e_q) \tag{1H}$$
Esse resultado é um tensor de segunda ordem. Ou seja a soma das ordens originais (2 + 2) foi reduzida de 2.


2) Contração Dupla

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Nessa operação, a soma das ordens dos tensores originais é reduzida de 4. Para tensores de segunda ordem, é definida por:

$$(u \otimes v):(w \otimes x) = (u \cdot w)(v \cdot x) \tag{2A}$$
Como exemplo,

$$\mathcal T : \mathcal S = T_{ij}(\hat e_i \otimes \hat e_j):S_{pq}(\hat e_p \otimes \hat e_q) = T_{ij}S_{pq}(\hat e_i \cdot \hat e_p)(\hat e_j \cdot \hat e_q) = T_{ij}S_{ij} \tag{2B}$$
Desde que o resultado é um escalar, a soma das ordens é reduzida de 2 + 2 para 0.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019