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Tensores - Algumas Notas VI

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Tópicos: Tensor Simétrico | Decomposição Espectral | Valores Máximo e Mínimo |


1) Tensor Simétrico (2ª ordem)

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É caracterizado pela igualdade com a matriz transposta:

$$[\mathcal S] = [\mathcal S]^T \tag{1A}$$
Sejam, conforme página anterior, ñ1, ñ2 e ñ3 os autovetores correspondentes aos autovalores λ1, λ2 e λ3 da solução do sistema de equações (1H) da mesma página. Usando (1B) também dessa página,

$$(\mathcal S-\lambda_1\mathcal I)\tilde n_1 = 0\\(\mathcal S-\lambda_2\mathcal I)\tilde n_2 = 0\\(\mathcal S-\lambda_3\mathcal I)\tilde n_3 = 0 \tag{1B}$$
Reagrupando e fazendo o produto escalar da primeira por ñ2,

$$(\mathcal S \tilde n_1)\cdot \tilde n_2 = \lambda_1 \tilde n_1 \cdot \tilde n_2\\(\mathcal S \tilde n_2) = \lambda_2 \tilde n_2 \tag{1C}$$
Considerando (1A) e aplicando propriedades da transposição de matrizes e do produto escalar (1G),

$$\lambda_1 \tilde n_1 \cdot \tilde n_2 = (S \tilde n_1)^T \tilde n_2 = \tilde n_1^T S \tilde n_2 = \tilde n_1^T \lambda_2 \tilde n_2 = \lambda_2 \tilde n_1 \cdot \tilde n_2 \tag{1D}$$
$$(\lambda_1 - \lambda_2) (\tilde n_1 \cdot \tilde n_2) = 0 \tag{1E}$$
Resultado similar é obtido para o terceiro autovetor. Desde que as raízes λi são diferentes, o produto escalar dos autovetores é nulo. Assim, os autovetores de um tensor simétrico de segunda ordem formam um sistema de coordenadas ortogonais.


2) Decomposição Espectral

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Seja um tensor genético aplicado a um vetor unitário $\mathcal T \hat e_j$. Desde que êj tem a linha j igual a 1 e as restantes 0, esse resultado são os componentes do tensor na coluna j. Fazendo o produto escalar com um vetor unitário ei, tem-se então os componentes individuais do tensor:

$$\mathcal T_{ij} = \hat e_i \cdot \mathcal T(\hat e_j) \tag{2A}$$
Do tópico Componentes do Tensor de Segunda Ordem:

$$\mathcal T = \sum \mathcal T_{ij} (\hat e_i \otimes \hat e_j) \tag{2B}$$
Seja agora o tensor de segunda ordem simétrico $\mathcal S$ do tópico anterior, cujos autovetores, conforme visto, formam uma base ortogonal. Também conforme já visto, os autovetores ñi são unitários. Pode-se então representar o tensor nessa base de autovetores com uso de (2B) e (2A), além da definição de autovetor $\mathcal S(\hat n_j) = \lambda_j \hat n_j$:

$$\mathcal S = \sum \hat n_i \cdot \mathcal S(\hat n_j) (\hat n_i \otimes \hat n_j) = \sum \hat n_i \cdot \lambda_j \hat n_j (\hat n_i \otimes \hat n_j) \tag{2C}$$
Desde que ñi e ñj são ortogonais e unitários:

$$\hat n_i \cdot \lambda_j \hat n_j = \begin{cases}\lambda_j&i=j\\0&i\ne j\end{cases} \tag{2D}$$
Considerando em (2C):

$$\mathcal S = \lambda_1 (\hat n_1 \otimes \hat n_1)+\lambda_2 (\hat n_2 \otimes \hat n_2)+\lambda_1 (\hat n_3 \otimes \hat n_3) \tag{2E}$$
$$[\mathcal S] = \begin{bmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{bmatrix} \tag{2F}$$
Esse resultado, também dado na forma matricial acima, é a decomposição ou representação espectral do tensor.


3) Valores Máximo e Mínimo

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Seja o tensor simétrico anterior dado representação espectral, isto é, nos componentes relativos à base ortogonal dos autovetores, formando a matriz diagonal (2F). Considera-se um vetor unitário de um eixo qualquer, dado em termos da base de autovetores:

$$\hat e_1 = a \tilde n_1 + b \tilde n_2 + c \tilde n_3 \tag{3A}$$
Aplicando (2A),

$$S_{11} = \begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix} = a^2\lambda_1+b^2\lambda_2+c^2\lambda_3 \tag{3B}$$
Desde que os vetores são unitários, $a^2+b^2+c^2=1$. Supondo que λ1 seja o maior valor entre λ1, λ2 e λ3, conclui-se que ele será sempre $\ge \mathcal S_{11}$ ou qualquer outro elemento dado conforme (3B) e (3A). Se λ3 é o menor, ele também será sempre $\le \mathcal S_{11}$.

Portanto, a diagonal da decomposição espectral (2F) contém os valores máximo e mínimo que os elementos do tensor simétrico pode assumir com a rotação do sistema de coordenadas.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019