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Tensores - Algumas Notas V

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Tópicos: Autovalores, Autovetores, Invariantes, Eixos Principais |


1) Autovalores, Autovetores, Invariantes, Eixos Principais

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Nesta página são dados alguns conceitos, agora aplicados a um tensor de segunda ordem (ã é um vetor, mas simbolizado com til para indicar autovetor):

$$\mathcal T(\tilde a)=\lambda\tilde a \tag{1A}$$
Na igualdade acima, ã é um autovetor do tensor, porque é transformado em um vetor paralelo, isto é, o próprio multiplicado por um escalar λ, denominado autovalor.

Conforme visto na mesma página, a relação acima pode ser reescrita para (onde $\mathcal I$ é o tensor identidade):

$$(\mathcal T - \lambda \mathcal I)\tilde a = 0 \tag{1B}$$
Em termos de componentes, a relação acima pode ser escrita como um sistema de equações lineares:

$$(T_{11}-\lambda)a_1+T_{12}a_2+T_{13}a_3 = 0\\T_{21}a_1+(T_{22}-\lambda)a_2+T_{23}a_3 = 0\\T_{31}a_1+T_{32}a_2+(T_{33}-\lambda)a_3 = 0 \tag{1C}$$

Nesse sistema, a matriz dos coeficientes é:

$$[\mathcal T-\lambda\mathcal I]=\begin{bmatrix}(T_{11}-\lambda)&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&(T_{22}-\lambda)&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&(T_{33}-\lambda)\end{bmatrix} \tag{1D}$$

Desde que a matriz dos termos independentes (valores após sinal de igual em 1C) é nula, o sistema só pode ter solução não nula se:

$$\det [\mathcal T-\lambda\mathcal I] = 0 \tag{1E}$$
Ver nesta página. Expandindo o determinante, obtém-se a equação característica do tensor:

$$\lambda^3-B\lambda^2+C\lambda-D = 0 \tag{1F}$$
Os coeficientes B, C e D são dados por:

$$B = \mathrm{tr\ }(\mathcal T) = \sum \mathcal T_{ii}\\C = \tfrac{1}{2}\left\lbrace[\rm{tr\ }(\mathcal T)]^2 - \rm{tr\ }(\mathcal T^2)\right\rbrace\\D = \det \mathcal T \tag{1G}$$
Desde que (1F) é uma equação do terceiro grau, há três raízes, que são dadas por:

$$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = B\\\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3 = C\\\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = D \tag{1H}$$
Uma vez determinado λi, os autovetores podem ser calculados pela solução do sistema de equações (1C), considerando a relação abaixo para resultar unitários:

$$\tilde a \cdot \tilde a = 1 \tag{1I}$$
Deve-se notar que, para cada λi, há infinitos autovetores porque ã pode ser qualquer outro vetor na mesma direção multiplicado por um escalar.

As direções dos autovetores para cada λi são denominadas direções principais ou eixos principais. Desde que, no desenvolvimento das relações, os valores de λ não dependem do sistema de coordenadas, os parâmetros B, C e D conforme (1G) são denominados invariantes principais do tensor.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019