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Tensores - Algumas Notas IV

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Tópicos: Representação Matricial | Rotação de Coordenadas | Traço de um Tensor |


1) Representação Matricial

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Das relações anteriores, conclui-se que a aplicação de um tensor de segunda ordem a um vetor pode ser dada, de forma simples, como um produto de matrizes:

$$\mathcal S\ \vec u = \begin{bmatrix}\mathcal S_{11}&\mathcal S_{12}&\mathcal S_{13}\\\mathcal S_{21}&\mathcal S_{22}&\mathcal S_{23}\\\mathcal S_{31}&\mathcal S_{32}&\mathcal S_{33}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix} \tag{1A}$$
O cálculo é dado segundo fórmula da multiplicação de matrizes. A notação pode usar colchetes para indicar a forma matricial $[\mathcal S]\ [\vec u]$


2) Rotação de Coordenadas

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Supondo os vetores unitários [ẽ] para o sistema rotacionado e [ê] para o sistema inicial de coordenadas, da página Vetores III-A, tem-se a matriz de rotação para um vetor:

$$[Q] = \begin{bmatrix}\hat e_1\cdot\tilde e_1&\hat e_2\cdot\tilde e_1&\hat e_3\cdot\tilde e_1\\\hat e_1\cdot\tilde e_2&\hat e_2\cdot\tilde e_2&\hat e_3\cdot\tilde e_2\\\hat e_1\cdot\tilde e_3&\hat e_2\cdot\tilde e_3&\hat e_3\cdot\tilde e_3\end{bmatrix} \tag{2A}$$
Na forma compacta (1≤i≤3 e 1≤j≤3),

$$Q_{ij} = \tilde e_i \cdot \hat e_j \tag{3B}$$
Lembrando que produto escalar é comutativo ($\vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a$) e que, na convenção de matrizes, o primeiro índice (i) é linha e o segundo (j), coluna.

Sejam dois vetores idênticos, com um dado em coordenadas do sistema inicial e outro do sistema rotacionado:

$$\vec u = \begin{bmatrix}u_1 \hat e_1\\u_2 \hat e_2\\u_3 \hat e_3\end{bmatrix}=\vec v = \begin{bmatrix}v_1 \tilde e_1\\v_2 \tilde e_2\\v_3 \tilde e_3\end{bmatrix} \tag{3C}$$
Na mesma página são dadas as relações dos componentes dos vetores com a matriz de rotação:

$$[v] = [Q]\ [u]\quad\therefore\quad v_j = \sum_i Q_{ji}\ u_i \tag{3D}$$
$$[u] = [Q]^T\ [v]\quad\therefore\quad u_i = \sum_j Q_{ji}\ v_j \tag{3E}$$
Sejam $\mathcal U$ um tensor de segunda ordem com componentes dados no sistema inicial e $\mathcal V$ o mesmo tensor com componentes no sistema rotacionado. Desde que cada componente tem dois índices, a matriz [Q] deve aparecer duas vezes.

Das relações (3D) e (3E), observa-se que o primeiro índice se refere ao sistema rotacionado e o segundo, ao sistema inicial. Assim, pode-se deduzir a relação por analogia:

$$\mathcal V_{mn} = \sum_i \sum_j Q_{mi} Q_{nj} \mathcal U_{ij}\quad\text{ou}\quad[\mathcal V] = [Q][\mathcal U] [Q]^T \tag{3F}$$
De forma similar, pode-se deduzir a segunda relação:

$$\mathcal U_{ij} = \sum_m \sum_n Q_{mi} Q_{nj} \mathcal V_{mn}\quad\text{ou}\quad[\mathcal U] = [Q]^T[\mathcal V] [Q] \tag{3G}$$

3) Traço de um Tensor

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Para um tensor de segunda ordem, é dado por:

$$\rm{tr}\ \mathcal U = \rm{tr}\ [\mathcal U] = \mathcal U_{11}+\mathcal U_{22}+\mathcal U_{33} = \mathcal U_{ii} \tag{4A}$$
De (3D) e (3E) deduz-se que a matriz Q deve ser ortogonal, isto é, a inversa é igual à transposta e o produto de ambas é a matriz identidade I:

$$[Q][Q]^T = [Q]^T [Q] = I \tag{4B}$$
Em termos de índices, essa igualdade pode ser escrita:

$$\sum_k Q_{ik} Q_{jk} = \sum_k Q_{ki} Q_{kj} = \delta_{ij} \tag{4C}$$
Onde δij é o delta de Kronecker, definido por:

$$\delta_{ij}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases} \tag{4D}$$
Sejam agora duas matrizes quadradas genéricas A e B. O traço do produto é comutativo porque:

$$tr(AB) = \sum_i (AB)_{ii} = \sum_i \sum_k(A_{ik}B_{ki}) = \sum_k \sum_i (B_{ki}A_{ik}) = \sum_k (BA)_{kk} = tr(BA) \tag{4E}$$
Aplicando essa propriedade a (3F) e considerando (4B),

$$tr [\mathcal V] = tr\lbrace [Q][\mathcal U] [Q]^T \rbrace = tr\lbrace [\mathcal U] [Q]^T [Q] \rbrace = tr [\mathcal U] \tag{4F}$$
Ou seja, o traço de um tensor é um invariante na rotação do sistema de coordenadas.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019