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Tensores - Algumas Notas III

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Tópicos: Componentes do Tensor de Segunda Ordem | Exemplo: Tensor de Tensões |


1) Componentes do Tensor de Segunda Ordem

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Repetindo a igualdade (2G) da página anterior:

$$\mathcal T=(\vec\epsilon_1\otimes\hat e_1)+(\vec\epsilon_2\otimes\hat e_2)+(\vec\epsilon_3\otimes\hat e_3) \tag{1A}$$
Os vetores ε podem ser dados em termos vetores unitários:

ε1 = ε11 ê1 + ε21 ê2 + ε31 ê3
ε2 = ε12 ê1 + ε22 ê2 + ε32 ê3
ε3 = ε13 ê1 + ε23 ê2 + ε33 ê3

Substituindo na anterior,

$$\begin{align}\mathcal T =\ &\epsilon_{11}(\hat e_1\otimes\hat e_1)+\epsilon_{21}(\hat e_2\otimes\hat e_1)+\epsilon_{31}(\hat e_3\otimes\hat e_1)+\\&\epsilon_{12}(\hat e_1\otimes\hat e_2)+\epsilon_{22}(\hat e_2\otimes\hat e_2)+\epsilon_{32}(\hat e_3\otimes\hat e_2)+\\&\epsilon_{13}(\hat e_1\otimes\hat e_3)+\epsilon_{23}(\hat e_2\otimes\hat e_3)+\epsilon_{33}(\hat e_3\otimes\hat e_3)\end{align} \tag{1B}$$
Há portanto, 32 = 9 componentes na forma genérica $T_{ij}(\hat e_i \otimes \hat e_j)$, o que faz analogia com um vetor (tensor de 1ª ordem), que tem 31 = 3 componentes na forma $v_{i} \hat e_i$.

Um díade ou produto tensorial é um tensor de segunda ordem, porque satisfaz a definição. Entretanto, nem todo tensor de segunda ordem é um díade porque este último é definido a partir de 2 vetores, havendo 2×3 = 6 componentes, mas o tensor de segunda ordem tem 9 conforme igualdade anterior.


2) Exemplo: Tensor de Tensões

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Do estudo da resistência dos materiais, verifica-se que a tensão ρ, atuante sobre uma superfície genérica de um material (Figura 2-I), relaciona-se com o vetor n normal à essa superfície pelo tensor de tensões:

$$\vec \rho = \mathcal S (\vec n) \tag{2A}$$

Fig 2-I

Nota: na praxe, é usual representar esse tensor pela leta grega sigma minúscula. Assim, $\vec \rho = \sigma(\vec n)$.


Fig 2-II

Considerando agora um sistema de coordenadas cartesianas com, por exemplo, o vetor unitário do eixo X perpendicular à superfície (Figura 2-II), a tensão é dada conforme (2A):

$$\vec \rho = \sigma (\hat e_1) \tag{2B}$$
De (1B) do tópico anterior, deduz-se que as parcelas em que os produtos tensoriais têm o segundo vetor diferentes de $\hat e_1$ são nulas (produto escalar de perpendiculares). Assim, em termos de componentes:

$$\vec\rho = \sigma(\hat e_1) = \sigma_{11}\hat e_1+\sigma_{21}\hat e_2+\sigma_{31}\hat e_3 \tag{2C}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019