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Tensores - Algumas Notas II

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Tópicos: Tensores de Segunda Ordem | Tensor de Segunda Ordem como Soma de Díades |


1) Tensores de Segunda Ordem

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Um tensor de segunda ordem $\mathcal T$ pode ser definido como uma operação que, aplicada a um vetor, produz outro vetor. Segue relação básica, com diferentes simbologias encontradas em referências.

$$\mathcal T(\vec u) = \mathcal T \vec u = \vec v \tag{1A}$$
É uma transformação linear, dispondo, portanto, das propriedades associativa e distributiva:

$$\mathcal T(k\vec u) = k\mathcal T(\vec u)\\\mathcal T (\vec u+\vec v) = \mathcal T(\vec u)+\mathcal T(\vec v) \tag{1B}$$
O tensor identidade é um tensor tal que, para qualquer vetor:

$$\mathcal I\ \vec v = \vec v \tag{1C}$$
O tensor nulo aplicado a qualquer vetor resulta em um vetor nulo:

$$\mathcal O\ \vec v = \vec o \tag{1D}$$
Exemplo: no produto vetorial de dois vetores (Figura 1-I), o primeiro vetor seguido do operador ($\vec a \times$) pode ser considerado um tensor, porque transforma o segundo vetor em outro:

$$\vec a \times \vec b = \mathcal A(\vec b) \tag{1E}$$

Fig 1-I

Na representação matricial (mesmo link anterior) pode ser visto que equivale a uma matriz 3×3 que multiplica a matriz (3×1) do segundo vetor:

$$[a \times b] = \begin{bmatrix}0&-a_3&a_2\\a_3&0&-a_1\\-a_2&a_1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix} \tag{1F}$$

2) Tensor de Segunda Ordem como Soma de Díades

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Seja um tensor genérico conforme definição anterior:

$$\mathcal T(\vec u) = \vec v \tag{2A}$$
O vetor a transformar pode ser escrito em termos de vetores unitários em cada eixo (êi):

$$\vec u = u_1\hat e_1+u_2\hat e_2+u_3\hat e_3 \tag{2B}$$
Aplicando as propriedades associativa e distributiva mencionadas:

$$\mathcal T(\vec u) = u_1\mathcal T(\hat e_1)+u_2\mathcal T(\hat e_2)+u_3\mathcal T(\hat e_3)=\vec v \tag{2C}$$
Sejam os vetores auxiliares que representam as transformações, dadas pelo tensor, nos vetores unitários:

$$\mathcal T(\hat e_1) = \vec \epsilon_1\\\mathcal T(\hat e_2) = \vec \epsilon_2\\\mathcal T(\hat e_3) = \vec \epsilon_3 \tag{2D}$$
Substituindo em (2C) e lembrando que $u_i = \vec u \cdot \hat e_i$ (cada componente de u é a projeção, produto escalar, sobre o respectivo vetor unitário),

$$\mathcal T(\vec u) = (\vec u\cdot\hat e_1)\vec\epsilon_1+(\vec u\cdot\hat e_2)\vec\epsilon_2+(\vec u\cdot\hat e_3)\vec\epsilon_3 \tag{2E}$$
Considerando a relação básica de produto tensorial (díade), conforme (2D) da página anterior,

$$\mathcal T(\vec u) = (\vec\epsilon_1\otimes\hat e_1)\vec u+(\vec\epsilon_2\otimes\hat e_2)\vec u+(\vec\epsilon_3\otimes\hat e_3)\vec u\\\mathcal T(\vec u) = \left[(\vec\epsilon_1\otimes\hat e_1)+(\vec\epsilon_2\otimes\hat e_2)+(\vec\epsilon_3\otimes\hat e_3)\right]\vec u \tag{2F}$$
Portanto,

$$\mathcal T=(\vec\epsilon_1\otimes\hat e_1)+(\vec\epsilon_2\otimes\hat e_2)+(\vec\epsilon_3\otimes\hat e_3) \tag{2G}$$
Ou seja, um tensor de segunda ordem pode ser dado pela soma acima de produtos tensoriais.
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019