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Tensores - Algumas Notas I

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Tópicos: Introdução | Díade (produto tensorial) |


1) Introdução

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No estudo de fenômenos físicos, há sempre necessidade de entidades ou operações matemáticas que indiquem as propriedades magnitude e/ou direção. Um resumo inicial pode ser dado pela tabela a seguir.

Tabela 1-I
Nome específico ou
caso particular
Tensor de ordemMagnitudeDireçõesComponentes
Escalar0Sim030 = 1
Vetor1Sim131 = 3
Díade2Sim232 = 9
Tríade3Sim333 = 27
···············

O conceito de tensor é, portanto, uma generalização de entidades que representam magnitudes e direções. O nome é relacionado com tensão mecânica porque foi possivelmente a primeira aplicação. Tensões em materiais ocorrem em duas direções (normal e transversal), o que sugere o uso de tensores de segunda ordem para representá-las.

Convenção de símbolos: há uma certa variação encontrada em literatura. Por facilidade de representação, o critério a seguir será aqui adotado.

Escalar letra grega ou latina minúscula (α, γ, b, etc)
Matrizletra maiúscula (A, B, etc)
Tensorletra caligráfica ($\mathcal{ A, B}$, etc). Magnitude de componentes pode ser em fonte normal (A, B, etc) ou conforme indicado
Vetorletra minúscula (grega ou latina) com seta acima ($\vec v, \vec u$, etc). Magnitude de componentes pode ser sem seta
Vetor
unitário
$\vec i\ \vec j\ \vec k$ para os eixos x y z (alternativamente, ê1 ê2 ê3)


2) Díade (produto tensorial)

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Sejam dois vetores u e v, para os quais são listadas as operações na tabela a seguir.

Tabela 2-I
NomeOperaçãoResultadoEm termos de tensor
Produto escalar$\vec u \cdot \vec v$Um escalarTensor de ordem 0
Produto vetorial$\vec u \times \vec v$Um vetorTensor de ordem 1
Produto tensorial$\vec u \otimes \vec v$Um díadeTensor de ordem 2

O produto tensorial (díade) não é produto escalar nem vetorial. É uma operação própria, algumas vezes vista como uma "multiplicação de vetores". Na notação, é comum a omissão do operador ⊗. Assim, por exemplo, u v.

Usando os componentes dos vetores, a operação é dada pela soma dos produtos de cada par. Assim, considerando os vetores unitários i j k num sistema de coordenadas cartesianas,

$$\vec u = u_1\vec i+u_2\vec j+u_3\vec k\\\vec v = v_1\vec i+v_2\vec j+v_3\vec k \tag{2A}$$

$$\vec u \vec v = u_1 v_1\vec i\vec i+u_1 v_2\vec i\vec j+u_1 v_3\vec i\vec k+\cdots \tag{2B}$$
Pode-se, portanto, representar os escalares da operação em uma matriz 3×3:

$$[uv] = \begin{bmatrix}u_1 v_1&u_1 v_2&u_1 v_3\\u_2 v_1&u_2 v_2&u_2 v_3\\u_3 v_1&u_3 v_2&u_3 v_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1&v_2&v_3\end{bmatrix}=[u][v]^T \tag{2C}$$

Equivale ao produto da matriz do primeiro vetor pela matriz transposta do segundo.

A transformação básica que o produto tensorial aplica sobre um terceiro vetor a é dada por:

$$(\vec u \otimes \vec v) \vec a = \vec u (\vec v \cdot \vec a) \tag{2D}$$
Ou seja, o vetor a é transformado num vetor na mesma direção de u, com magnitude igual à magnitude de u multiplicada pelo produto escalar $(\vec v \cdot \vec a)$. Exemplo gráfico na figura a seguir.


Fig 2-I

Exemplo

Seja o produto tensorial:

$$\mathcal P = \vec i \vec i \tag{2E}$$
Ou seja, dois vetores unitários na direção do eixo X de um sistema de coordenadas cartesianas (Figura 2-I). E também um vetor u numa direção qualquer.


Fig 2-II

Aplicando (2D),

$$\mathcal P \vec u = (\vec i \otimes \vec i) \vec u = (\vec i \cdot \vec u) \vec i \tag{2F}$$
Desde que o produto escalar indica a magnitude da projeção de um vetor sobre outro, o produto tensorial (ou tensor de 2ª ordem) $\mathcal P = \vec i \vec i$ é um tensor de projeção, que, aplicado a um vetor, resulta no vetor projeção do vetor original sobre o eixo X.

Voltando à igualdade (2C), o resultado é uma matriz 3×3, que pode, portanto, ser multiplicado por outro par de vetores. Considerando definições e propriedades do produto escalar e da multiplicação de matrizes,

$$[u][v]^T[w][x]^T = [u]([v]^T[w])[x]^T = (v \cdot w)[u][x]^T \tag{2G}$$
Usando a notação correspondente, obtém-se uma propriedade importante do produto tensorial:

$$(u \otimes v)(w \otimes x) = (v \cdot w)(u \otimes x) \tag{2H}$$
Referências
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Kolecki, J. C. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering. Ohio, Nasa, 2002.
Kossa, A. Introduction to Tensors. Budapest University of Technology, 2016.

Topo | Rev: Jun/2019