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Seções Planas VI

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Tópicos: Rotação de Eixos para Momentos de Segunda Ordem | Eixos Principais e Eixos Centrais de Inércia | Elipse Central de Inércia | Módulo de Resistência |

1) Rotação de Eixos para Momentos de Segunda Ordem

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Sejam, conforme Figura 1-I, uma superfície genérica S e um sistema de coordenada XY. Para um sistema UV de mesma origem e com uma rotação ϕ, valem as relações a seguir.

$$J_{u}=\frac{J_{x}+J_{y}}{2}+\frac{J_{x}-J_{y}}{2}\cos 2\phi-J_{xy}\,\sin 2\phi \tag{1A}$$
$$J_{v}=\frac{J_{x}+J_{y}}{2}-\frac{J_{x}-J_{y}}{2}\cos 2\phi+J_{xy}\,\sin 2\phi \tag{1B}$$
$$J_{uv}=\frac{J_{x}-J_{y}}{2}\ \sin 2\phi+J_{xy}\cos 2\phi \tag{1C}$$

Rotação de eixos
Fig 1-I

Considera-se a identidade trigonométrica:

$$\cos 2\phi = \cos^2\phi - \sin^2 \phi \tag{1D}$$
Substituindo em (1A) e em (1B) e simplificando, obtêm-se outras formas para essas relações:

$$J_u = J_x \cos^2 \phi + J_y \sin^2 \phi - J_{xy} \sin 2\phi \tag{1E}$$
$$J_v = J_x \sin^2 \phi + J_y \cos^2 \phi + J_{xy} \sin 2\phi \tag{1F}$$

Seja a relação já vista para o momento polar de inércia:

$$J_0 = J_x + J_y \tag{1G}$$
Somando (1E) com (1F),

$$J_0 = J_u + J_v = J_x + J_y \tag{1H}$$
Esse resultado indica que, na rotação de eixos, o momento polar de inércia não se altera.


2) Eixos Principais e Eixos Centrais de Inércia

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Através da derivação das fórmulas (1A) e (1B) do tópico anterior, demonstra-se que há um ângulo de rotação no qual o momento de inércia em relação a um eixo é máximo e, em relação ao outro, é mínimo. Eixos nesse ângulo são denominados eixos principais de inércia.

Eixos principais
Fig 2-I

Se, na Figura 2-I, AB são os eixos principais, os momentos de inércia são calculados por:

$$J_{A,B}=\frac{J_{x}+J_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{J_{x}-J_{y}}{2}\right)^{2}+J_{xy}^{2}} \tag{2A}$$

Os ângulos são dados por:

$$\tan\phi_{A}=\frac{J_{x}-J_{A}}{J_{xy}}\quad\tan\phi_{B}=\frac{J_{x}-J_{B}}{J_{xy}} \tag{2B}$$

Eixos principais de inércia cuja origem é o centroide (ou centro de gravidade, no conceito prático) da seção são denominados eixos centrais de inércia. A notação de praxe usa os símbolos 1 e 2 para designar o de maior e menor momento de inércia respectivamente. Assim, nas igualdades anteriores, os índices A e B são substituídos por 1 e 2 se for central de inércia.

Desde que o produto de inércia Jxy é nulo se um eixo é de simetria, deduz-se a partir de (2A) que, se uma seção tem um eixo de simetria, um dos eixos principais coincide com ele. O outro eixo principal é perpendicular.

Exemplos de eixos centrais de inércia
Fig 2-II

Nos exemplos da Figura 2-II, a seção (a), perfil tipo I, tem dois eixos de simetria e os eixos principais são facilmente determinados. Em (b), perfil tipo U, há apenas o eixo 1 de simetria e a posição do eixo 2 deve ser determinada a partir do cálculo do centroide C da seção.

Para os eixos principais, duas igualdades podem ser formuladas:

$$J_A + J_B = J_x + J_y\\J_A\ J_B = J_x J_y - J_{xy}^2 \tag{2C}$$
A primeira é a igualdade (1H) do tópico anterior. A segunda é obtida pela separação de (2A) nas duas relações e posterior multiplicação e simplificação.


3) Elipse Central de Inércia

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É traçada conforme exemplo da Figura 3-I (o eixo horizontal é o de menor momento). Os raios R1 e R2 são os raios de giração correspondentes aos momentos de inércia máximo e mínimo. Portanto,

$$R_{1}=\sqrt{\frac{J_{1}}{S}}\quad R_{2}=\sqrt{\frac{J_{2}}{S}} \tag{3A}$$
Elipse central de inércia
Fig 3-I

Para um eixo genérico U, o raio de inércia Ru é dado por:

$$R_{u}=\frac{R_{1}R_{2}}{CA} \tag{3B}$$
Ou graficamente conforme figura. E o momento de inércia em relação a U é calculado por:

$$J_u = R_u^2\ S \tag{3C}$$

4) Módulo de Resistência

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Seja, conforme Figura 4-I, uma seção genérica S e um eixo principal de inércia (1, neste caso). Em relação a esse eixo, e1 e e2 são as distâncias dos pontos extremos da seção. Os módulos de resistência da seção em relação ao eixo 1 são definidos por:

$$W_{11}=\frac{J_{1}}{e_{1}}\quad W_{12}=\frac{J_{1}}{e_{2}} \tag{4A}$$
Módulo de resistência
Fig 4-I

Se a seção é simétrica, e1 = e2 = e, existindo apenas um valor:

$$W_{1}=\frac{J_{1}}{e} \tag{4B}$$
As distâncias são consideradas em valores absolutos (sem sinal). A unidade básica do módulo de resistência no Sistema Internacional é m3. Valores práticos geralmente usam o submúltiplo cm3.
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018