Anotações & Informações | Fim pág | Voltar |

Seções Planas V

| Índice do grupo | Página anterior | Próxima página |

Tópicos: Produto de Inércia | Teorema de Steiner para Produto de Inércia | Produto de Inércia para Seções Compostas |

1) Produto de Inércia

(Topo | Fim pág)

Seja uma seção plana qualquer de área S e um sistema de coordenadas XY conforme Figura 1-I. O produto de inércia dessa seção em relação aos eixos é definido por:

$$J_{xy} = \int_S x\ y \ dS \tag{1A}$$
Seção plana genérica
Fig 1-I

O produto de inércia tem a mesma dimensão do Momento de Inércia (L4), mas, diferente deste último, pode ser positivo, negativo ou nulo. Se a seção tem um eixo de simetria e esse eixo coincide com X ou Y, então o produto de inércia em relação a X e Y é nulo.


2) Teorema de Steiner para Produto de Inércia

(Topo | Fim pág)

Sejam uma superfície plana de área S e dois sistemas de coordenadas ortogonais de eixos paralelos X1 Y1 e XC YC, com as distâncias entre eixos dadas conforme figura. A origem do sistema XC YC coincide com o centroide C da superfície.

Eixos paralelos
Fig 2-I

O teorema de Steiner (ou dos eixos paralelos) para o produto de inércia tem forma similar à do momento de inércia:

$$J_{X1Y1} = J_{XCYC} + S\ x_{1C}\ y_{1C} \tag{2A}$$

3) Produto de Inércia para Seções Compostas

(Topo | Fim pág)

A fórmula é similar à da composição de momentos de inércia, supondo que todos os eixos correspondentes (x ou y) são paralelos:

$$J_{xy} = \sum \left(J_{xi yi} + S_i\ x_i\ y_i \right) \tag{3A}$$
Jxiyiprodutos de inércia de cada parte
Sirespectivas áreas
xi e yidistâncias entre eixos de cada parte e os eixos X e Y

Exemplo: determinar o produto de inércia em relação ao centroide de uma cantoneira de abas iguais de comprimento b e espessura w conforme Figura 3-I.

Cantoneira de abas iguais
Fig 3-I

Em primeiro lugar, deve-se determinar os valores x e y para o centroide do elemento, que, pela simetria, devem ser iguais. A cantoneira é subdividida em dois retângulos (1) e (2) conforme figura. As áreas e as posições dos centroides de cada (em relação ao lado esquerdo da cantoneira) são:

$$S_1 = w (b - w)\\S_2 = w b\\x_1 = w / 2\\x_2 = b / 2 \tag{3B}$$
Segundo fórmula do tópico Calculando centroides por composição,

$$x + \frac{w}{2} = \frac{(w/2)w(b-w) + (b/2)w b}{w(b-w) + bw} \tag{3C}$$

Resolvendo a equação e considerando a igualdade de x com y,

$$x = y = \frac{b(b-w)}{2(2b-w)} \tag{3D}$$
Os termos Jxiyi da relação (3A) são nulos porque os produtos são tomados em relação aos eixos de simetria dos retângulos. Assim,

$$J_{xy} = w(b-w)(-x)\left(b-y-\frac{w}{2}-\frac{b-w}{2}\right) + wb(-y)\left(\frac{b}{2}-x-\frac{w}{2}\right)\\J_{xy} = w(b-w)(-x)\left(\frac{b}{2}-y\right) + wb(-y)\left(\frac{b}{2}-x-\frac{w}{2}\right) \tag{3E}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018