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Seções Planas IV

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Tópicos: Momento de Inércia de Área | Teorema de Steiner | Momentos de Inércia para Seções Compostas |

1) Momento de Inércia de Área

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Também denominado momento de segunda ordem de área, é propriedade de uma seção plana de um corpo, que tem relação com resistência à deformação. Apesar da semelhança em formulação e em alguns teoremas, não deve ser confundido com momento de inércia de massa, que é usado no estudo da rotação de corpos rígidos. É comum o mesmo símbolo (I) para ambos, mas a distinção fica normalmente clara no contexto e nas unidades físicas. Nesta página, será usado o símbolo J para o momento de inércia de área. Em Engenharia, é usual o emprego da expressão reduzida momento de inércia para designar o momento de inércia de área.

Seja, conforme Figura 1-I, uma superfície plana genérica de área S e um sistema de coordenadas ortogonais XY. Os momentos de inércia em relação a cada eixo são dados por:

$$J_x = \int_S y^2 dS\\J_y = \int_S x^2 dS \tag{1A}$$
O momento polar de inércia em relação à origem é calculado por:

$$J_0 = \int_S r^2 dS \tag{1B}$$
Momento de inércia
Fig 1-I

Da relação trigonométrica r2 = x2 + y2 conclui-se que:

$$J_0 = J_x + J_y \tag{1C}$$
Da definição, pode-se notar que momentos de inércia são sempre valores positivos. A unidade básica no Sistema Internacional (SI) é o m4. O submúltiplo cm4 é usual em valores práticos.

Raios de giração

$$R_x = \sqrt\frac{J_x}{S} \quad R_y = \sqrt\frac{J_y}{S} \quad R_z = \sqrt\frac{J_z}{S} \tag{1D}$$

O raio de giração tem dimensão de comprimento. É usado, por exemplo, no estudo da estabilidade de colunas, etc.

Exemplo de cálculo

Seja um retângulo de base b e altura h conforme Figura 1-II. Deseja-se saber os momentos de inércia em relação aos eixos de simetria X e Y.

Retângulo e eixos de simetria
Fig 1-II

Para o momento em relação ao eixo X, pode-se supor que a integração ao longo de uma faixa horizontal de espessura dy (de −b/2 a +b/2) é uma parcela infinitesimal, ou seja, dJx = y2 b dy. Integrando,

$$J_x = \int_{-h/2}^{+h/2} b y^2 dy = \frac{by^3}{3}\bigg\vert_{-h/2}^{+h/2} = \frac{bh^3}{12} \tag{1E}$$

Usando procedimento similar para o eixo Y, o resultado da integração é:

$$J_y = \frac{b^3 h}{12} \tag{1F}$$

2) Teorema de Steiner

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Sejam uma superfície plana de área S e dois sistemas de coordenadas ortogonais de eixos paralelos X1 Y1 e XC YC, com as distâncias entre eixos dadas conforme figura. A origem do sistema XC YC coincide com o centroide C da superfície.

Teorema de Steiner
Fig 2-I

O teorema de Steiner (ou teorema dos eixos paralelos) relaciona os momentos de inércia nessa translação de eixos:

$$J_{x1} = J_{xc} + S\ y_{1c}^2\\J_{y1} = J_{yc} + S\ x_{1c}^2 \tag{2A}$$
E os momentos polares de inércia têm relação similar:

$$J_{01} = J_{0c} + S\ r_{1c}^2 \tag{2B}$$
Exemplo: determinar os momentos de inércia em relação a X e a Y do retângulo inclinado de ϕ conforme Figura 2-II. Considerar que a altura h é pequena em relação à base b.

Um ponto genérico P(x, y) é o centroide de uma porção de área elementar h dr. Sejam então dJxC e dJyC os momentos de inércia dessa porção em relação a XC e a YC. De acordo com as relações (1A),

$$dJ_x = dJ_{xC} + h dr y^2 = dJ_{xC} + h\ dr\ r^2\ \sin^2 \phi \\ dJ_y = dJ_{yC} + h dr x^2 = dJ_{yC} + h\ dr\ r^2\ \cos^2 \phi \tag{2C}$$

Retângulo inclinado
Fig 2-II

Desde que a área h dr é pequena, pode-se supor dJxC = dJyC = 0. E as equações acima são resolvidas por integração:

$$J_x = \int_0^b h \sin^2 \phi\ r^2 dr = \frac{1}{3} h\ \sin^2\phi\ b^3 \\ J_y = \int_0^b h \cos^2 \phi\ r^2 dr = \frac{1}{3} h\ \cos^2\phi\ b^3 \tag{2D}$$


3) Momentos de Inércia para Seções Compostas

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Para uma composição de seções, considerando paralelos os eixos correspondentes (x ou y), valem as fórmulas:

$$J_x = \sum \left(J_{xi} + S_i\ y_i^2\right) \\ J_y = \sum \left(J_{yi} + S_i\ x_i^2\right) \tag{3A}$$
Jxi e Jyimomentos de inércia de cada parte
Sirespectivas áreas
xi e yidistâncias entre eixos de cada parte e os eixos X e Y

Exemplo: para o perfil I da Figura 3-I, determinar os momentos de inércia em relação aos eixos de simetria X e Y.

Perfil I
Fig 3-I

Essa seção pode ser decomposta em três retângulos:

(1): largura b, altura tb

(2): largura tw, altura (h − 2tb)

(3): largura b, altura tb

Usam-se agora as relações dadas e os momentos de inércia calculados no primeiro tópico. Para o eixo X:

$$S_1 = b t_b\\ S_2 = t_w (h - 2t_b)\\ S_3 = b t_b\\ y_1 = h/2 - t_b/2\\ y_2 = 0\\ y_3 = - h/2 + t_b/2 \tag{3B}$$
Para o eixo Y:

$$S_i = \text{conforme anterior}\\x_1 = x_2 = x_3 = 0 \tag{3C}$$
Substituindo em (1A) e simplificando,

$$J_x = \frac{t_w(h - 2t_b)^3}{12} + 2 \left(\frac{b t_b^3}{12} + b t_b \frac{(h - t_b)^2}{4} \right)\\J_y = \frac{(h - 2 t_b)t_w^3}{12} + \frac{t_b b^3}{6} \tag{3D}$$
Referências
Arrivabene, V. Resistência dos Materiais. São Paulo, Makron, 1994.
Beer, P. Ferdinand. Johnston, E. Russell. Vector Mechanics for Engineers. New York, McGraw-Hill, 1962.
Bouché, Ch. Leitner, A. Sans, F. Dubbel. Manual da Construção de Máquinas. São Paulo, Hemus, 1979.
Giek, Kurt. Manual de Fórmulas Técnicas. São Paulo, Hemus.

Topo | Rev: Jun/2018